Problema di Meccanica Celeste e non..

[.Ruben.17]

1)Calcolare il seguente integrale:
$\int_{0}^a \sqrt{(ax)/(a-x)} dx$
con a parametro reale

2)"Dati due punti materiali di massa uguale, posti a distanza d nel vuoto, che nell'istante iniziale abbiano velocità nulla rispetto alle stelle fisse, calcolare il tempo necessario alla collisione tra le due masse."

3) Risolvere il problema al punto 2) senza usare le equazioni differenziali

4)"Date due cariche puntiformi di massa uguale $M$ e cariche $q_{1}$ e $q_{2}$, poste nel vuoto e mantenute fisse fino ad un determinato istante in cui vengono lasciate libere, calcolare il tempo necessario alla collisione"

[anto_zoolander]

siccome di fisica sono zero(felicemente), svolgo solo l'integrale.

$int_(0)^(a)sqrt((ax)/(a-x))dx$

intanto se $a<0$ si ha che il dominio deve essere $D={x inRR:x
se $a=0$ l'integrale è $0$ e se $a>0$ ne possiamo parlare. Il dominio risulta $D={x inRR:0leqx
comincio ponendo $ax=y^2$ ottenendo come estremi sempre gli stessi e come differenziale $dx=2/ady$
poi considerando che $x=y^2/a$ deve essere $0leqy^2/a0leqy

$int_(0)^(a)sqrt((ax)/(a-x))dx=2/aint_(0)^(a)y^2/sqrt(a-y^2/a)dy$

la riscrivo

$-1/sqrtaint_(0)^(a)y[(-2y)(a^2-y^2)^(-1/2)]dy=2/sqrtaint_(0)^(a)sqrt(a^2-y^2)dy-2/sqrta[ysqrt(a^2-y^2)]_(0)^(a)$

ora la seconda parte tende a $0$, la prima parte è una circonferenza di centro $C(0,0)$ e raggio $a$ che corrisponde esattamente all'area di $1/4$ di circonferenza. Dunque

$2/sqrtaint_(0)^(a)sqrt(a^2-y^2)dy=2/sqrta*1/2*pi/2*a^2=(piasqrta)/2$

[consec]

Risolvo pure io l'integrale

$int_(0)^(a)sqrt((ax)/(a-x))dx$
Sostituisco $t^2=a-x => x=a-t^2 => dx=-2tdt$
Gli estremi di integrazione vanno da $sqrt(a)$ a $0$
$-2int_(sqrt(a))^(0)sqrt((a(a-t^2)))/t*tdt$
$2int_(0)^(sqrt(a))sqrt(a^2-at^2)dt$
Sostituisco $y^2=at^2=>t=y/sqrt(a) => dt=1/sqrt(a)dy$
Gli estremi di integrazione vanno da $0$ a $a$
$2/sqrt(a)int_(0)^(a)sqrt(a^2-y^2)dy$
Notiamo che l'integrale è l'area di un quarto di circonferenza di raggio $a$ centrata nell'origine
Quindi l'integrale diventa
$2/sqrt(a)*(\pia^2)/4=(\pia^(3/2))/2$

[.Ruben.17]

Molto bene!!

Hint per il 2:

La distanza tra i due punti si cela sotto l'eq. diff. (Perché?)
$S''(t) = (-2GM)/(S(t)^2)$

Imponete le giuste condizioni iniziali e risolvete
Può essere utile l'integrale al punto 1)

[VisX]

Ok provo a risolvere il punto 2.

Ricordando che l'energia potenziale gravitazionale di due masse puntiformi è $ frac{-GM_1M_2}{S^2} $, ho che l' energia iniziale è $ E_i=frac{-GM^2}{d^2} $. In un generico istante di tempo l'energia è $E=frac{1}{2}\mu(S')^2-frac{GM^2}{S^2}$ con $\mu=frac{M}{2}$ la massa ridotta del sistema. Poiché l'energia si conserva $frac{-GM^2}{d^2}=frac{M}{4}(S')^2-frac{GM^2}{S^2}$ da cui posso ricavare che $S'^2=4GM(frac{1}{S}-frac{1}{d})$, Quindi $S'=-\sqrt{frac{d-S}{Sd}}2\sqrt{GM}$ (ho preso la soluzione negativa perché la distanza fra le due masse va a diminuire nel tempo). Arrivo quindi a $-\sqrt{frac{Sd}{d-S}}S'=2\sqrt{GM}$. Integro rispetto al tempo ricordando che $dS=S'dt$ ed indicando con $T$ l'istande della collisione:
$\int_d^0-\sqrt{frac{Sd}{d-S}}dS=\int_0^T2\sqrt{GM}dt$ (all'istante $0$ i corpi si trovano a distanza $d$, mentre all'istante $T$ essi sono a distanza $0$). Invertendo gli estremi di integrazione del primo integrale il segno meno sparisce ed usando il risultato del punto 1 arrivo a: $frac{d\sqrt{d}\pi}{2}=2\sqrt{GM}T$. Quindi alla fine $T=frac{d\sqrt{d}\pi}{4\sqrt{GM}}$.

Possibile indizio punto 3

Penso bisogni usare "creativamente" la terza legge di Keplero, come se i due corpi percorressero ellissi aventi semiasse minore nullo. Ho provato, ma mi turba il fatto che ci sia qualche fattore moltiplicativo diverso. Probabilmente bisogna fare qualche correzione dovuta al fatto che i corpi in questione hanno massa uguale.

Messaggio per .Ruben.

Ma il consiglio di usare l'equazione differenziale era un consiglio od una trappola? A quanto ne so quell'equazione è tutt'altro che semplice da risolvere...

[.Ruben.17]

Molto bene!!
Non era un consiglio, era un'invito a trovare un modo elegante per risolvere una EDO fastidiosa(hai visto quanto è stato utile l'integrale al punto 1..)..

Per il punto 3 sei sulla strada giusta, anzi giustissima..