Problema di Kakeya

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Su questo problema c'è molta letteratura. Può essere divertente provare a risolverlo, non è impossibile e si può fare con idee puramente geometriche.

"Wikipedia":The Kakeya needle problem asks whether there is a minimum area of a region D in the plane, in which a needle of unit length can be turned through 360°.

Riformulo solo per diminuire il rischio di confusione.

Prendiamo un segmento lungo [tex]1[/tex] nel piano e chiamiamo [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] i suoi estremi. Immaginiamo di trascinare il nostro segmento nel piano, e osserviamo l'area che spazza. Qual è la minima area che si deve spazzare per "capovolgere" il segmento, cioè per portare il punto [tex]A[/tex] in [tex]B[/tex] e viceversa (se tale area esiste)?

Per esempio, una rotazione completa attorno al punto medio del segmento produce un'area di [tex]\pi/4[/tex]. Si può fare di meglio?

[perplesso1]

è solo un'idea...

L'area dovrebbe essere $2-\pi/2$ (un rettangolo meno un semicerchio). Si può fare ancora di meglio?

[Seneca1]

@perplesso: a me era venuta la stessa idea. Butto lì un dubbio, senza pensarci troppo: sei sicuro che siano archi di circonferenza quelli lì?

[perplesso1]

Hai ragione non ho nessun argomento per affermare che siano archi di circonferenza anzi mi sono abbastanza convinto che non lo sono. E quindi adesso bisogna beccare l'integrale giusto per calcolare quell'area.

[Gaussman]

la funzione che descrive quella curva è (se non ho sbagliato i conti) $(1-x^(2/3))^(3/2)$.
Ora andrebbe integrata (che si riesce, ma è un obrobrio), ma resta comunque aperta la questione se questa è la soluzione migliore

[perplesso1]

Sui conti non credo che tu abbia sbagliato, ho trovato la stessa curva anch'io stamattina, anche se non la so integrare xD

"Gaussman":Ora andrebbe integrata (che si riesce, ma è un obrobrio), ma resta comunque aperta la questione se questa è la soluzione migliore

Comincio a chiedermelo anch'io visto che Martino ha detto che si può fare con idee puramente geometriche, mentre in questo modo stiamo usando l'analisi matematica.

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Un altro metodo simpatico è fare tre rotazioni di 60 gradi in senso antiorario, la prima attorno ad A, la seconda attorno a B, la terza attorno ad A. Ma non so se questo realizzi un'area più piccola di quella proposta da perplesso.

Prima di provare a risolverlo bisogna avere un'idea di cosa può essere la soluzione. Per fare questo si può provare a risolvere un problema più semplice, per esempio realizzare una traslazione.

[perplesso1]

Mentre penso al probema della traslazione mi è venuta un'idea per realizzare un'area che "a occhio" è ancora più piccola di quella della mia idea precedente

Nel disegno il punto rosso è A quello verde B e le frecce indicano come si muovono. L'idea è che dopo aver fatto salire A lungo la verticale lo facciamo scendere lungo la curva $(1-x^{2/3})^{3/2}$

[perplesso1]

Ne ho pensata ancora un'altra, ma questa ha molte più probabilità di essere un ca**ata

Se facessi muovere fin dall'inizio il punto A su una traiettoria curva anzichè in verticale potrebbe venire una specie di triangolo con degli archi al posto dei lati (o almeno nella mia immaginazione funziona xD )



il problema sarebbe capire se è vero che il punto B descrive gli altri due lati/archi del "triangolo", anzi bisognerebbe pure capire che tipo di archi fargli descrivere... ho l'impressione che mi sto incartando in una cosa troppo problematica... forse era meglio se mi stavo zitto...

[sonoqui_1]

La soluzione del problema consiste nel determinare il minimo integrale definito di una funzione?
Mi viene in mente come soluzione quella di considerare l'area spazzata in un atto di moto del segmento. Ma così facendo si calcola l'area spazzata sommando più volte quella spazzata più volte. Non so se è questo che richiede l'esercizio e comunque non saprei come procedere poi nel ricavare il minimo dell'integrale.

[perplesso1]

Visto che nessuno propone di meglio provo ad aggiungere qualche dettaglio alla mia idea precedente

L'area da me ipotizzata si potrebbe realizzare nel modo suggerito da questo disegno

Una semplice applicazione del teorema di pitagora mostra che se il segmento $AB$ misura $1$ allora il raggio delle circonferenze deve essere ${\sqrt {3} +1}/2$, mentre l'area della regione colorata di azzurro dovrebbe essere (a meno di errori nei conti) ${(2 \sqrt {3} - \pi )( \sqrt {3} + 2)}/2 = 0.3009...$ più piccola di quella proposta da Martino. Solo che c'è da dimostrare (purchè siano vere ) due cose:

1) Il segmento $AB$ può effettivamente muoversi senza uscire da quella regione.
2) Quella regione è la piu piccola realizzabile.

Sul punto 1 (che a me sembra intuitivamente vero) ho una mezza idea. Si potrebbe mostrare che scelto un punto qualsiasi $P$ sul perimetro della regione blu, una circonferenza di raggio $1$ centrata in $P$ interseca il perimetro della regione in almeno un altro punto (come? Boh ). Sul punto 2 non lo so ci sto pensando.

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Considerazioni su questo problema si trovano sulla pagina di wikipedia.