Problema di Kakeya

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Su questo problema c'è molta letteratura. Può essere divertente provare a risolverlo, non è impossibile e si può fare con idee puramente geometriche.

"Wikipedia":
The Kakeya needle problem asks whether there is a minimum area of a region D in the plane, in which a needle of unit length can be turned through 360°.
Riformulo solo per diminuire il rischio di confusione.

Prendiamo un segmento lungo [tex]1[/tex] nel piano e chiamiamo [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] i suoi estremi. Immaginiamo di trascinare il nostro segmento nel piano, e osserviamo l'area che spazza. Qual è la minima area che si deve spazzare per "capovolgere" il segmento, cioè per portare il punto [tex]A[/tex] in [tex]B[/tex] e viceversa (se tale area esiste)?

Per esempio, una rotazione completa attorno al punto medio del segmento produce un'area di [tex]\pi/4[/tex]. Si può fare di meglio?

Risposte
perplesso1

Seneca1
@perplesso: a me era venuta la stessa idea. Butto lì un dubbio, senza pensarci troppo: sei sicuro che siano archi di circonferenza quelli lì?

perplesso1
Hai ragione non ho nessun argomento per affermare che siano archi di circonferenza ](*,) anzi mi sono abbastanza convinto che non lo sono. E quindi adesso bisogna beccare l'integrale giusto per calcolare quell'area.

Gaussman
la funzione che descrive quella curva è (se non ho sbagliato i conti) $(1-x^(2/3))^(3/2)$.
Ora andrebbe integrata (che si riesce, ma è un obrobrio), ma resta comunque aperta la questione se questa è la soluzione migliore :?:

perplesso1
Sui conti non credo che tu abbia sbagliato, ho trovato la stessa curva anch'io stamattina, anche se non la so integrare xD

"Gaussman":
Ora andrebbe integrata (che si riesce, ma è un obrobrio), ma resta comunque aperta la questione se questa è la soluzione migliore

Comincio a chiedermelo anch'io visto che Martino ha detto che si può fare con idee puramente geometriche, mentre in questo modo stiamo usando l'analisi matematica. :smt017

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Un altro metodo simpatico è fare tre rotazioni di 60 gradi in senso antiorario, la prima attorno ad A, la seconda attorno a B, la terza attorno ad A. Ma non so se questo realizzi un'area più piccola di quella proposta da perplesso.

Prima di provare a risolverlo bisogna avere un'idea di cosa può essere la soluzione. Per fare questo si può provare a risolvere un problema più semplice, per esempio realizzare una traslazione.

perplesso1
Mentre penso al probema della traslazione mi è venuta un'idea per realizzare un'area che "a occhio" è ancora più piccola di quella della mia idea precedente


perplesso1
Ne ho pensata ancora un'altra, ma questa ha molte più probabilità di essere un ca**ata :-D


sonoqui_1
La soluzione del problema consiste nel determinare il minimo integrale definito di una funzione?
Mi viene in mente come soluzione quella di considerare l'area spazzata in un atto di moto del segmento. Ma così facendo si calcola l'area spazzata sommando più volte quella spazzata più volte. Non so se è questo che richiede l'esercizio e comunque non saprei come procedere poi nel ricavare il minimo dell'integrale.

perplesso1
Visto che nessuno propone di meglio provo ad aggiungere qualche dettaglio alla mia idea precedente


Studente Anonimo
Studente Anonimo
Considerazioni su questo problema si trovano sulla pagina di wikipedia.

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