Problema di geometria dalla prova INdAM 2017/2018

[Bianco17]

Salve a tutti! Dopo la maturità, mi sto concentrando sul concorso bandito dall'INdAM per le borse di studio dedicate alle nuove matricole delle facoltà italiane di Matematica. Per esercitarmi, sto risolvendo le prove degli anni passati e due giorni fa mi sono imbattuto in un problemone di geometria riguardo particolari costruzioni su triangoli. Riporto la traccia per intero:
"Un triangolo acutangolo $ABC$, i cui angoli di vertici $A$,$B$,$C$ hanno ampiezze indicate rispettivamente con $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ è inscritto nella circonferenza $\delta$.
(a) Le bisettrici uscenti da $A$,$B$,$C$ si incontrano nell'incentro $I$ del triangolo $ABC$ ed intersecano ulteriormente la circonferenza $\delta$ nei punti \(A'\),\(B'\),\(C'\). Esprimere le ampiezze \(\alpha'\),\(\beta'\),\(\gamma'\) degli angoli del triangolo $A'B'C'$ in funzione di $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dimostrare che $I$ è l'ortocentro del triangolo \(A'B'C'\).
(b) Le altezze uscenti da $A$,$B$,$C$ si incontrano nell'ortocentro $H$ del triangolo $ABC$ ed intersecano ulteriormente la circonferenza $\delta$ nei punti \(A''\),\(B''\),\(C''\). Esprimere le ampiezze \(\alpha''\),\(\beta''\),\(\gamma''\) degli angoli del triangolo \(A''B''C''\) in funzione di $\alpha$,$\beta$,$\gamma$. Dimostrare che $H$ è l'incentro del triangolo \(A''B''C''\).
(c) Dimostrare che, ripetendo più volte la costruzione \(ABC\rightsquigarrow A'B'C'\) (applicandola via via ai nuovi triangoli ottenuti), si otterranno sempre dei triangoli acutangoli.
(d) Dimostrare che, ripetendo più volte la costruzione \(ABC\rightsquigarrow A''B''C''\) (applicandola via via ai nuovi triangoli ottenuti), si otterranno sempre dei triangoli acutangoli se e solo se il triangolo iniziale $ABC$ è equilatero."
Personalmente, non saprei dove mettere le mani, in particolar modo ai punti (a) e (b) perché, vedendo un po' gli altri problemi di queste prove, generalmente gli ultimi punti seguono facilmente dai primi con qualche semplice osservazione: credo che il tutto stia nell'ottenere l'espressione degli angoli dei nuovi triangoli che si generano dalle due costruzioni descritte ma soltanto questo mi sembra già particolarmente complicato... Potresti darmi una mano?

[totissimus]

Suggerimento punto(a)

$\alpha'=\frac{\beta+\gamma}{2}$

$\beta^{'}=\frac{\alpha+\gamma}{2}$

$\gamma^{'}=\frac{\alpha+\beta}{2}$

Conseguenza della proprietà che gli angoli alla circonferenza che
insistono sullo stesso arco sono uguali

[Bianco17]

Giusto, non l'avevo minimamente notato... Per il resto?

[totissimus]

Punto b)

Detto $H^{'}$ il punto d'intesezione tra la bisettrice $C C^{'}$
e la retta $BB^{'}$ abbiamo:

$$B^{'}\widehat{C^{'}}H^{'}=\frac{\beta}{2}$$, $$C^{'}\widehat{B^{'}}A^{'}=C^{'}\widehat{B^{'}}B+B\widehat{B^{'}}A^{'}=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{2}$$

$$B^{'}\widehat{H^{'}}C^{'}=\pi-B^{'}\widehat{C^{'}}H^{'}-C^{'}\widehat{B^{'}}A^{'}=\pi-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}-\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{2}$$

[Bianco17]

Perdonami @totissimus, ma non ho ben capito cosa hai trovato per (b)... Ad ogni modo, col tuo punto (a) hai risvegliato il mio occhio, ultimamente poco allenato alla geometria, tanto da riuscire a trovare una soluzione soddisfacente all'intero problema. Sono particolarmente contento di sottoporre alla vostra opinione la mia trovata per il punto (d), che riporto di seguito assieme a (b) per completezza di trattazione:

Per rispondere al punto sull'iterazione della costruzione con le altezze \( ABC\rightsquigarrow A''B''C''\), occorre trovare un'espressione per \(α''\),\(β''\) e \(γ''\). Ripescando l'osservazione di @totissimus per il punto (a), preso l'arco \(\overset{\frown}{B''C''}\cong\overset{\frown}{B''A}+\overset{\frown}{AC''}\), su di esso insiste \(α''=B''\widehat BA+A\widehat CC''=2\left(\frac{\pi}2-\alpha\right)=\pi-2\alpha\). Analogamente, \(\beta''=\pi-2\beta\) e \(\gamma''=\pi-2\gamma\). Ora occorre dimostrare la doppia implicazione \[\alpha,\beta,\gamma=\frac{\pi}3\Longleftrightarrow\forall n\in\mathbb{N^*}\ \alpha''_n,\beta''_n,\gamma''_n<\frac{\pi}2\] dove, con \(\alpha''_n\),\(\beta''_n\) e \(\gamma''_n\) intendo gli angoli del triangolo \(A''B''C''\) ottenuto all'$n$-esima costruzione.
Dimostrare l'implicazione \(\Longrightarrow\) è abbastanza banale: è sufficiente osservare che si otterranno sempre dei triangoli equilateri dato che \(\alpha''_1,\beta''_1,\gamma''_1=\pi-2\frac{\pi}3=\frac{\pi}3\) e così sempre per ogni iterazione.
Al contrario, l'implicazione \(\Longleftarrow\) mi ha impegnato di più: prendendo gli angoli \(\alpha''_n\) (ma ugualmente per gli altri), la mia idea è di costruirci una successione per determinarne il limite. Mi spiego meglio... Preso per ipotesi \[\alpha''_1=\pi-2\alpha<\frac{\pi}2\] segue che \(\alpha>\frac{\pi}4\); poi da \[\alpha''_2=\pi-2(\pi-2\alpha)<\frac{\pi}2\] viene che \(\alpha<\frac{3\pi}8\). Proseguendo il calcolo si ottiene \[\alpha_{n\in\{1,3...\}}>-\frac{\sum_{k=0}^n(-2)^k}{2^{n+1}}\pi\\\alpha_{n\in\{2,4...\}}<\frac{\sum_{k=0}^n(-2)^k}{2^{n+1}}\pi\] intendendo con \(\alpha_n\) l'angolo \(\hat A\) di \(ABC\) che risulta dalla valutazione dell'angolo \(\alpha''_n\) dell'$n$-esima iterazione. Dalla somma di una successione geometrica, riscriviamo \[\alpha_{n\in\{1,3...\}}>\frac{2^{n+1}-1}{2^{n+1}}\frac{\pi}3\\\alpha_{n\in\{2,4...\}}<\frac{2^{n+1}+1}{2^{n+1}}\frac{\pi}3\] Al limite, \[\frac{\pi}3<\alpha_{n\to\infty}<\frac{\pi}3\] da cui necessariamente \(\alpha=\frac{\pi}3\); lo stesso vale per \(\beta\) e \(\gamma\), quindi, affinché i triangoli \(A''B''C''\) siano sempre acutangoli, \(ABC\) dev'essere equilatero.

Ammesso e non concesso che sia formalmente corretta, mi sono divertito parecchio e spero con tutto il cuore che sia valida! L'unica cosa che ancora mi chiedo è se esiste una soluzione più semplice della mia, considerando che nel resto della prova ci sono altre due dimostrazioni belle corpose (di cui una mi sfugge ancora in alcune parti...) e altri 17 quesiti più o meno rapidi...

[totissimus]

@bianco17
Nel mio secondo post ho scritto punto b), mi sono sbagliato volevo riferirmi alla seconda parte del punto a)

[Bianco17]

Sisì, rileggendo con attenzione mi ritrovo esattamente con quello che ho fatto io poi Per quanto riguarda la soluzione a (d) hai avuto qualche idea migliore o perlomeno differente rispetto alla mia?