Problema di Geometria
Ciao a tutti, vi espongo il mio problema:
Un quadrato (figura piana) si trova in uno spazio 3D con una certa inclinazione (sia rispetto a X che a Y).
Conosco la coordinata Z di quattro punti sul quadrato (i punti medi dei lati).
Prendo un certo punto appartenente al quadrato, di cui conosco la distanza dai lati e quindi anche quella dai quattro punti "noti" (la distanza è intesa sul piano del quadrato).
Come ricavo la coordinata Z di questo punto?
In altre parole, il quadrato subisce una rotazione in X e una in Y, e devo ricavare la coordinata Z a cui si ritrova un determinato punto la cui posizione era nota prima delle rotazioni. Come si fa?
Un quadrato (figura piana) si trova in uno spazio 3D con una certa inclinazione (sia rispetto a X che a Y).
Conosco la coordinata Z di quattro punti sul quadrato (i punti medi dei lati).
Prendo un certo punto appartenente al quadrato, di cui conosco la distanza dai lati e quindi anche quella dai quattro punti "noti" (la distanza è intesa sul piano del quadrato).
Come ricavo la coordinata Z di questo punto?
In altre parole, il quadrato subisce una rotazione in X e una in Y, e devo ricavare la coordinata Z a cui si ritrova un determinato punto la cui posizione era nota prima delle rotazioni. Come si fa?
Risposte
Non vorrei dire una sciocchezza, ma non si tratta semplicemente di applicare la rotazione al punto in questione?
Consideriamo il quadrato nella posizione originaria, sul piano $z=0$, che ha come punti medi dei lati $(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)$ (o come vertici, o anche senza sapere che è un quadrato). Applichiamo una rotazione dello spazio, che fissi $(0,0,0)$ e mandi $(1,0,0)$ in $(x_1,y_1,z_1)$ e $(0,1,0)$ in $(x_2,y_2,z_2)$ (il punto $(1,1,0)$ andrà da qualche parte di conseguenza; cosa più importante, trattandosi di una rotazione, e quindi un movimento rigido a determinante positivo, il punto $(0,0,1)$ andrà da qualche parte di conseguenza, che chiamiamo $(x_3,y_3,z_3)$).
Se hai $p=(x,y,z)$ di cui conosci le coordinate prima della rotazione, hai $x (1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)$. Per linearità $p$ va in
\[ x v_1 + yv_2+ zv_3\]
dove $v_i =(x_i,y_i,z_i)$.
In particolare, se il punto era inizialmente sul quadrato, la sua coordinata $Z$ era $0$, e quindi la nuova coordinata $Z$ sarà $xz_1 +yz_2$.
Spero di essere stato chiaro.
Consideriamo il quadrato nella posizione originaria, sul piano $z=0$, che ha come punti medi dei lati $(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)$ (o come vertici, o anche senza sapere che è un quadrato). Applichiamo una rotazione dello spazio, che fissi $(0,0,0)$ e mandi $(1,0,0)$ in $(x_1,y_1,z_1)$ e $(0,1,0)$ in $(x_2,y_2,z_2)$ (il punto $(1,1,0)$ andrà da qualche parte di conseguenza; cosa più importante, trattandosi di una rotazione, e quindi un movimento rigido a determinante positivo, il punto $(0,0,1)$ andrà da qualche parte di conseguenza, che chiamiamo $(x_3,y_3,z_3)$).
Se hai $p=(x,y,z)$ di cui conosci le coordinate prima della rotazione, hai $x (1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)$. Per linearità $p$ va in
\[ x v_1 + yv_2+ zv_3\]
dove $v_i =(x_i,y_i,z_i)$.
In particolare, se il punto era inizialmente sul quadrato, la sua coordinata $Z$ era $0$, e quindi la nuova coordinata $Z$ sarà $xz_1 +yz_2$.
Spero di essere stato chiaro.
Dunque \(\displaystyle z_p=z_0+\frac{(x_p-x_0)}{L}(z_1-z_0)+\frac{(y_p-y_0)}{L}(z_2-z_0) \) ? Grazie! 
chi sono queste variabili e chi e' $L$?
\(\displaystyle L \) il lato del quadrato;
\(\displaystyle x_0, y_0, z_0 \) le coordinate del tuo punto \(\displaystyle (0, 0, 0) \);
\(\displaystyle z_1 \) la quota finale (dopo le rotazioni) del punto \(\displaystyle (1, 0, 0) \);
\(\displaystyle z_2 \) la quota finale (dopo le rotazioni) del punto \(\displaystyle (0, 1, 0) \);
\(\displaystyle x_p, y_p \) le coordinate del punto \(\displaystyle P \) prima delle rotazioni e \(\displaystyle z_p \) la sua "quota" finale.
\(\displaystyle x_0, y_0, z_0 \) le coordinate del tuo punto \(\displaystyle (0, 0, 0) \);
\(\displaystyle z_1 \) la quota finale (dopo le rotazioni) del punto \(\displaystyle (1, 0, 0) \);
\(\displaystyle z_2 \) la quota finale (dopo le rotazioni) del punto \(\displaystyle (0, 1, 0) \);
\(\displaystyle x_p, y_p \) le coordinate del punto \(\displaystyle P \) prima delle rotazioni e \(\displaystyle z_p \) la sua "quota" finale.
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