Problema di Cauchy (SISSA 2012)

[onlynose]

Risolvere il seguente problema di Cauchy:
\begin{cases}
u''(t)+u(t)=|t| \\
u(0)=1,u'(0)=-1.
\end{cases}
con $t\in\mathbb{R}$.

Ho impostato una mia soluzione, che dovrei concludere.

Risolvo l'equazione omogenea associata con soluzione $u_1(t)=A\cos(t)+B\sin(t)$, con $A,B$ costanti da determinare.
Adesso per ricavare l'equazione particolare ho fatto questo ragionamento, ma di cui non son sicuro (seguendo le linee esposte nel libro Giusti - Analisi 2): cerco una soluzione del tipo $v(t)=c_1(t)\cos(t)+c_2(t)\sin(t)$, con $c_1(t),c_2(t)$ funzioni da determinare. Da qui derivo $v(t)$ ed ottengo
$$v'(t)=c_1'(t)\cos(t)-c_1(t)\sin(t)+c_2'(t)\sin(t)+c_2(t)\cos(t)$$.
Adesso pongo (anche se non so se mi sia lecito) $c_1'(t)\cos(t)+c_2'(t)\sin(t)=0$ per ogni $t$.
Derivo nuovamente e ottengo
$$v''(t)=-c_1'(t)\sin(t)-c_1(t)\cos(t)+c_2'(t)\cos(t)-c_2'(t)\sin(t)$$.
Sostituisco nell'equazione di partenza e combinando con l'equazione $c_1'(t)\cos(t)+c_2'(t)\sin(t)=0$ consente di farmi ricavare $c_1'(t)$ e $c_2'(t)$ ed integrando anche $c_1(t)$ e $c_2(t)$.
Da qui basta imporre le condizioni iniziale e risolvere il problema assegnato.

Ciò di cui non sono affatto sicuro è l'arbitrarietà con cui pongo ad esempio $c_1'(t)\cos(t)+c_2'(t)\sin(t)=0$ per ogni $t$. Potete consigliarmi a riguardo o spiegarmi qualche altro metodo di procedere per risolvere un esercizio di questo tipo? Grazie a tutti!

[dissonance]

Non ti fare tanti problemi; se trovi una soluzione esplicita, e sai dalla teoria che essa è unica, allora quella è l'unica soluzione del problema. Non importa come tu ci sia arrivato.