Problema di Analisi: IV anno Scuola Normale Superiore
Salve, sto cercando di risolvere il seguente problema ma sto incontrando delle difficoltà:
Sia $f: (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ una funzione continua tale che $lim_(x->0)(f(x))=0$. Si provi che esistono due funzioni $g,h: (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ di classe $C^1$ tali che $g<=f<=h$ e $lim_(x->0)(h(x))=0$.
L'informazione tacita immagino che sia $lim_(x->0)(g(x))=0$ perchè le funzioni sono non negative. A questo punto ho provato a costruire due funzioni $g$ e $h$ partendo dalla $f$, ma con scarsi risultati. Può essere utile considerare il fatto che $g$ e $h$, essendo $C^1$, sono localmente lipschitziane? Immagino di sì, anche se non so in che modo. In ogni caso mi sembra che la $g$ possa essere identificata con l'applicazione costantemente nulla, anche se non mi sembra molto soddisfacente. Vi ringrazio per l'eventuale aiuto, il problema è il secondo della prova di Analisi Matematica del 3 Settembre 2012, e non ho trovato risoluzioni su internet.
Sia $f: (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ una funzione continua tale che $lim_(x->0)(f(x))=0$. Si provi che esistono due funzioni $g,h: (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ di classe $C^1$ tali che $g<=f<=h$ e $lim_(x->0)(h(x))=0$.
L'informazione tacita immagino che sia $lim_(x->0)(g(x))=0$ perchè le funzioni sono non negative. A questo punto ho provato a costruire due funzioni $g$ e $h$ partendo dalla $f$, ma con scarsi risultati. Può essere utile considerare il fatto che $g$ e $h$, essendo $C^1$, sono localmente lipschitziane? Immagino di sì, anche se non so in che modo. In ogni caso mi sembra che la $g$ possa essere identificata con l'applicazione costantemente nulla, anche se non mi sembra molto soddisfacente. Vi ringrazio per l'eventuale aiuto, il problema è il secondo della prova di Analisi Matematica del 3 Settembre 2012, e non ho trovato risoluzioni su internet.
Risposte
Probabilmente non ho capito niente, ma:
\( h(x)= f(x) + \frac{1}{x} \)
\( g(x)= f(x) - \frac{1}{x} \)
non fanno al nostro caso ?
\( h(x)= f(x) + \frac{1}{x} \)
\( g(x)= f(x) - \frac{1}{x} \)
non fanno al nostro caso ?
Non vanno bene perchè con le funzioni che hai scelto te il limite per $x$ tendente a $0$ non è uguale a $0$. Inoltre le due funzioni non sono $C^1$. Grazie per avere risposto comunque.
ma \( 0 \) è escluso dal tuo dominio!
Comunque sì quelle due funzioni in effetti non tendono a zero
ma allora cose ne dici di:
\( h(x) = f(x) \cdot 2 \)
\(g(x) = f(x) /2 \)
essendo \(f(x) > 0 \) abbiamo \( f(x) /2 \leq f(x) \leq f(x) \cdot 2 \)
Comunque sì quelle due funzioni in effetti non tendono a zero
ma allora cose ne dici di:
\( h(x) = f(x) \cdot 2 \)
\(g(x) = f(x) /2 \)
essendo \(f(x) > 0 \) abbiamo \( f(x) /2 \leq f(x) \leq f(x) \cdot 2 \)
Non sono $C^1$ perché non è detto che $f$ lo sia.
Senza pensarci troppo:
\[
h(x)=\int_0^t|f(t)|dt;\\
g(x)=-\int_0^t|f(t)|dt!
\]
\[
h(x)=\int_0^t|f(t)|dt;\\
g(x)=-\int_0^t|f(t)|dt!
\]
Le funzioni sono tutte positive a valori positivi e quindi si può scrivere: \[ h(x)=\int_0^xf(t)dt; \\ g(x)=-\int_0^xf(t)dt. \] Tuttavia proprio perchè le funzioni sono positive $g$ non può avere quella espressione, ad esempio se $f(x)=x$ allora si ha $g(1)=-1/2$ che va contro le ipotesi. Inoltre neanche $h$ va bene perchè, presa $f(x)=x$, $h(1)=1/2<1=f(1)$ ancora contro le ipotesi.
Il problema è che non è detto che $f<=h$.
Ad esempio: $f(x)=x => h(x)= int_{0}^t t dt = x^2/2$ e si ha $f(1)= 1 > 1/2= h(1)$
Ad esempio: $f(x)=x => h(x)= int_{0}^t t dt = x^2/2$ e si ha $f(1)= 1 > 1/2= h(1)$
Cominciamo a costruire le due funzioni in \((0,1]\).
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\) definiamo
\[
m_n := \min_{x\in [2^{-n-1}, 2^{-n}]} f(x),\qquad
M_n := \max_{x\in [2^{-n-1}, 2^{-n}]} f(x)\,.
\]
Dalle ipotesi si ha che \(0
Si vede subito che \(0
Infine, la costruzi)one su \([1,+\infty)\) si può fare sempre ragionando sui gradini costruiti, ad esempio, sugli intervalli \([n, n+1]\).
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\) definiamo
\[
m_n := \min_{x\in [2^{-n-1}, 2^{-n}]} f(x),\qquad
M_n := \max_{x\in [2^{-n-1}, 2^{-n}]} f(x)\,.
\]
Dalle ipotesi si ha che \(0
Si vede subito che \(0
Infine, la costruzi)one su \([1,+\infty)\) si può fare sempre ragionando sui gradini costruiti, ad esempio, sugli intervalli \([n, n+1]\).
Gi8 hai ragione, stavo modificando la mia precedente risposta mentre tu rispondevi.
Rigel la tua dimostrazione costruisce correttamente le due funzioni, anche se mi sta un po' stretto il fatto di "raccordare in modo $C^1$". Sono consapevole che sia possibile, ma non è poco formale dirlo senza dimostrarlo?
Rigel la tua dimostrazione costruisce correttamente le due funzioni, anche se mi sta un po' stretto il fatto di "raccordare in modo $C^1$". Sono consapevole che sia possibile, ma non è poco formale dirlo senza dimostrarlo?
"Holden Caulfield":
Rigel la tua dimostrazione costruisce correttamente le due funzioni, anche se mi sta un po' stretto il fatto di "raccordare in modo $C^1$". Sono consapevole che sia possibile, ma non è poco formale dirlo senza dimostrarlo?
Ci sono diversi modi per effettuare un raccordo \(C^1\) (o anche \(C^{\infty}\)).
Per fissare le idee, se hai un gradino a quota \(0\) per \(x \leq 0\) e un gradino a quota \(c>0\) per \(x > 0\), puoi costruire un raccordo su \([0, \delta]\), con \(\delta > 0\) piccolo a piacere, usando un polinomio \(p(x)\) di terzo grado univocamente determinato dalle condizioni
\[
p(0) = 0,\quad p'(0) = 0, \quad p(\delta) = c,\quad p'(\delta) = 0.
\]
"Holden Caulfield":
[...] funzioni [...] di classe $C^1$ [...]
Che significa "funzioni di classe $C^1$?
–––
–––––––––
Stavo pensando che se f(x) è positiva per x>0 e infinitesima per x ––> 0, allora:
h(x) = {se 0 < x ≤ 1 allora [f(x)]^2 altrimenti (cioè se x>1) [f(x)^(1/2)
è una funzione infinitesima per x infinitesimo e h(x) < f(x) ovunque tranne x =1 (dove h = f]
Viceversa, g(x)= {se 0 < x ≤ 1 allora [f(x)]^(1/2) altrimenti (cioè se x>1) [f(x)^2
è una funzione pure infinitesima per x infinitesimo e g(x) > f(x) ovunque tranne x =1 (dove g = f).
Insomma: queste h e g andrebbero bene ... se fossero "funzioni di classe $C^1$": cosa che non so non sapendo che c..o vuol dire, per una funzione, essere "di classe $C^1$".
–––
"Erasmus_First":
Che significa "funzioni di classe $C^1$?
Significa funzioni derivabili con derivata continua.
Ho visto adesso che la discussione aveva due pagine...comunque va bene grazie, adesso è più chiaro.
Se siete d'accordo metterò qualche altro problema del IV anno, dato che ho visto che c'è gente valente
Se siete d'accordo metterò qualche altro problema del IV anno, dato che ho visto che c'è gente valente
"Holden Caulfield":No so cosa significa per una funzione essere "di classe $C^1$.
Sia $f: (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ una funzione continua tale che $lim_(x->0)(f(x))=0$. Si provi che esistono due funzioni $g,h: (0,+\infty)\to (0,+\infty)$ di classe $C^1$ tali che $g<=f<=h$ e $lim_(x->0)(h(x))=0$.
Mi pare, comunque,che di coppie di funzioni h(x) e g(x) che verìficano la consizione
h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
ce ne siano ... a bizzeffe!
Per esempio (siccome f(x) è definita in ogni x reale non negatrivo)
h(x) = {per ogni x ≥ 0, se |f(x)| ≤ 1 allora $-(f(x))^2$ altrimenti $-sqrt|f(x)|$;
g(x) = {per ogni x ≥ 0, se |f(x)|≤ 1 allora $sqrt|f(x)|$ altrimenti $(f(x))^2$.
Aspetto che Rigel (che mi pare ... er mejo) mi dica che significa "di classe $C^1$ [e mi corregga eventuali castronerie] .,.
Ciao ciao
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