Problema (convergenze deboli)

[s.stuv]

Ciao a tutti. Vi sottopongo un problema che mi pare simpatico.

Sia \( \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \) una successione di \( L^2(\mathbb{R}) \), e siano \( f \in L^2(\mathbb{R}) \) e \( g \in L^1(\mathbb{R}) \). Supponiamo di sapere che
\[
f_n \rightharpoonup f \mbox{ weakly- } L^2(\mathbb{R})
\]
e che
\[
f_n^2 \rightharpoonup g \mbox{ weakly- } L^1(\mathbb{R}).
\]
Si dimostri che \( g \geq f^2 \) q.o. in \( \mathbb{R} \).

Io avevo pensato di far vedere che
\[
\int_{\mathbb{R}} (g - f^2) \phi \geq 0
\]
comunque si prenda \( \phi \in C^{\infty}_{c}(\mathbb{R}) \) positiva.
Poiché
\[
\int_{\mathbb{R}} g \phi = \lim_{n} \int_{\mathbb{R}} f_n^2 \phi
\]
e
\[
\int_{\mathbb{R}} f^2 \phi = \int_{\mathbb{R}} f(f\phi) = \lim_{n} \int_{\mathbb{R}} f_n f \phi,
\]
se si volesse seguire questa strada si dovrebbe provare che
\[
\int_{\mathbb{R}} f_n (f_n - f) \phi \geq 0
\]
definitivamente. Solo che non mi è ancora venuto niente di decente. Magari si potrà seguire una strada diversa. Voi che ne dite? Grazie a tutti in anticipo per le risposte

[Rigel1]

Per completare il tuo ragionamento, si può osservare che per ogni \(\phi\in C^{\infty}_c\), \(\phi\geq 0\), si ha
\[
\int (g-f^2)\phi = \lim_n \int (f_n^2-f_n f)\phi = \lim_n \int [(f_n-f)^2 + (f_n-f)f]\phi
\geq \lim_n \int (f_n-f) f \phi = 0.
\]

[Pappappero1]

Molto bellino. C'è un esempio facile in cui vale il maggiore stretto? Cioè..dove effettivamente $f^2$ non è uguale a $g$?

(Ammetto di non averci pensato molto; se mi dite che è qualcosa di abbordabile ci penso.)

[Rigel1]

Direi che se si prende la solita successione "a macchina da scrivere", ma con le \(f_n\) che assumono valori \(-1\) e \(+1\), si ha che \(f_n\rightharpoonup f \equiv 0\) ma \(f_n^2 \equiv 1 = g\).

[s.stuv]

@Rigel: grazie mille!