Problema ammissione SISSA
Ciao a tutti, ho problemi a risolvere il secondo punto del seguente esercizio di una prova d'ammissione alla SISSA:
1) Dato un insieme $A$ in $R^2$ aperto connesso e limitato, dimostrare che esiste unica, per ogni direzione $d$, una retta parallela a $d$ tale che divida $A$ in due parti con la stessa area.
2)Dato un altro insieme $B$ con le stesse proprietà di $A$, dimostrare che esiste una retta che divide entrambi gli insiemi in due parti con la stessa area.
Per il primo punto ce la si cava abbastanza facilmente integrando e usando il teorema dei valori intermedi, ma per il secondo punto? Non mi viene in mente molto che potrebbe essere utile. Grazie in anticipo.
1) Dato un insieme $A$ in $R^2$ aperto connesso e limitato, dimostrare che esiste unica, per ogni direzione $d$, una retta parallela a $d$ tale che divida $A$ in due parti con la stessa area.
2)Dato un altro insieme $B$ con le stesse proprietà di $A$, dimostrare che esiste una retta che divide entrambi gli insiemi in due parti con la stessa area.
Per il primo punto ce la si cava abbastanza facilmente integrando e usando il teorema dei valori intermedi, ma per il secondo punto? Non mi viene in mente molto che potrebbe essere utile. Grazie in anticipo.
Risposte
Hintino
Ciao Luca978, ti andrebbe di postare lo svolgimento del primo punto?
Praticamente l'dea è questa:
Fissi una direzione $d$. Parametrizzi le rette parallele a $d$ con un parametro reale $r$. Consideri poi la funzione che associa ad $r$ l'area di $A$ che sta sotto la retta $d_r$. Questa funzione è continua ( per l'assoluta continuità dell'integrale di funzioni $L^1$... oppure facendo un piccolo conto a mano stimando il cambiamento dell'area in funzione della variazione di r, puoi stimarlo prenendo una palla contenente $A$, essendo limitato). Per il teorema dei valori intermedi si vede quindi che esiste un unico $r$ in cui la funzione vale proprio metà dell'area di $A$.
Fissi una direzione $d$. Parametrizzi le rette parallele a $d$ con un parametro reale $r$. Consideri poi la funzione che associa ad $r$ l'area di $A$ che sta sotto la retta $d_r$. Questa funzione è continua ( per l'assoluta continuità dell'integrale di funzioni $L^1$... oppure facendo un piccolo conto a mano stimando il cambiamento dell'area in funzione della variazione di r, puoi stimarlo prenendo una palla contenente $A$, essendo limitato). Per il teorema dei valori intermedi si vede quindi che esiste un unico $r$ in cui la funzione vale proprio metà dell'area di $A$.
"onlynose":
Ciao Luca978, ti andrebbe di postare lo svolgimento del primo punto?
Si, intuitivamente è chiaro. Però non capisco come mostrare la continuità in modo formale.
Se sposti la retta di una distanza pari a $\delta$, allora l'area della parte di $A$ contenuta nel semipiano può cambiare al massimo di $\delta * \text{diam}(A)$.
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