Probemino
Vi voglio porre un problema a cui avevo pensato anni fa, avevo accantonato perché non mi riusciva, e mi è tornato in mente da poco, ma ancora non ho avuto granchè modo di pensarci: consideriamo $A=[0,+\infty)^2$ e definiamo $A_0={(x,y)\inA|xy=0}$ e costruiamo per ricorrenza degli insiemi $A_(n+1)={p\inA|p\in\text{ad un segmento di lunghezza 1 con estremi appartenenti ad} A_n}$, la domanda è $B=uuu_{n\inNN} A_n=A$? Se la risposta è no, $B$ che forma ha? Ha area finita?
Risposte
"dissonance":
La dimostrazione di cosa? Scrivi almeno il solo enunciato
$A_\omega=A$.
Perché usi \(\omega\) invece di \(\infty\) ?
---
RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).
---
RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).
Uso $A_\omega$ invece di $A_\infty$ perché in linea di principio potrei continuare anche dopo l'infinito su tutti gli ordinali, cosa che non si capisce molto (secondo me) con la notazione $A_\infty$, ma ora non ha più senso continuare ad usarla, tutto sommato.
Hai ricapitolato bene.
"dissonance":
RICAPITOLO: Si denota
\[
A=[0, \infty)\times [0, \infty), \]
e si definisce una successione di sottoinsiemi di \(A\) per ricorrenza come segue:
\[
A_{n+1}=\{ \text{segmenti di lunghezza 1 aventi estremi in }A_n\}.\]
Il problema è trovare il limite della successione avente per dato iniziale \(A_0=\{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}\). Gugo ha calcolato esplicitamente \(A_1\) e c'era la congettura che \(A_\infty =A\).
Hai ricapitolato bene.
"otta96":
Ho posto questo problema ad un mio amico, che è riuscito a risolvere, però non so come fare a scrivere la dimostrazione perché è molto lunga e complicata.
Inizia a scrivere!
Io personalmente non ho fretta e penso nemmeno gli altri.
Comincia a scrivere: un pezzo oggi, un pezzo domani. Prima o poi arriverai ad aver scritto tutto.
P.S.
C'è un errore nel titolo del topic: manca una "l" tra la "b" e la "e".
Scrivi intanto in spoiler naturalmente l'insieme limite che è venuto al tuo amico, in modo che i presenti possano smentirlo o dimostrarlo
"G.D.":
P.S.
C'è un errore nel titolo del topic: manca una "l" tra la "b" e la "e".
Oddio, non riesco a credere di non essermene accorto in tutto questo tempo...
Grazie per avermelo detto!
EDIT: Purtroppo però ormai non me lo fa modificare.
Comunque visto che me l'avete richiesto in tanti, lo scriverò via via, in modo da riuscire a finire prima o poi.
Cominciamo subito: dimostriamo che $A_\infty$ è tale che $\Phi(A_\infty)=A_\infty$.
Prendiamo $x,y\inA_\infty$ con $||x-y||=1$, per definizione di $A_\infty$, $EEn,m\inNN:x\inA_n,y\inA_m$, visto che $A_n\subA_m$ se $n<=m$ (vi va bene se questo lo consideriamo evidente?) quindi posso supporre $x,y\inA_n$, adesso, ogni punto che sta nel segmento di estremi $x$ e $y$ sta in $A_(n+1)\subA_\infty$, da cui la tesi.
Che ne pensate?
A dire la verità nella dimostrazione del mio amico mancherebbe una cosa che ancora non siamo riusciti a mettere a posto, ma è una cosa talmente evidente che dubito sia un problema troppo grosso, cioè che gli insiemi del tipo $A\setminusA_n$ è convesso, se qualcuno nel frattempo volesse cimentarsi in questa cosa sarebbe gradito.
Cominciamo subito: dimostriamo che $A_\infty$ è tale che $\Phi(A_\infty)=A_\infty$.
Prendiamo $x,y\inA_\infty$ con $||x-y||=1$, per definizione di $A_\infty$, $EEn,m\inNN:x\inA_n,y\inA_m$, visto che $A_n\subA_m$ se $n<=m$ (vi va bene se questo lo consideriamo evidente?) quindi posso supporre $x,y\inA_n$, adesso, ogni punto che sta nel segmento di estremi $x$ e $y$ sta in $A_(n+1)\subA_\infty$, da cui la tesi.
Che ne pensate?
A dire la verità nella dimostrazione del mio amico mancherebbe una cosa che ancora non siamo riusciti a mettere a posto, ma è una cosa talmente evidente che dubito sia un problema troppo grosso, cioè che gli insiemi del tipo $A\setminusA_n$ è convesso, se qualcuno nel frattempo volesse cimentarsi in questa cosa sarebbe gradito.
Immagino che \(\Phi\) sia l'operatore
\[
\Phi(B)=\{\text{segmenti di lunghezza 1 con estremi in } B\}.\]
Il fatto che \(\Phi(A_\infty)=A_\infty\) è vero e la dimostrazione va bene. NOTA: La successione \(A_n\) è data da
\[
\begin{cases} A_{n+1}=\Phi(A_n) \\ A_0= \{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}.
\end{cases}\]
(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).
\[
\Phi(B)=\{\text{segmenti di lunghezza 1 con estremi in } B\}.\]
Il fatto che \(\Phi(A_\infty)=A_\infty\) è vero e la dimostrazione va bene. NOTA: La successione \(A_n\) è data da
\[
\begin{cases} A_{n+1}=\Phi(A_n) \\ A_0= \{(x, y)\in A\ :\ x=0\ \text{oppure}\ y=0\}.
\end{cases}\]
(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).
"dissonance":
(Il fatto che \(A_\infty=\Phi(A_\infty)\) si può anche vedere direttamente da qui).
Davvero? Come?
L'ho già scritto qualche post fa. Si passa al limite nella ricorsione, però adesso non divaghiamo, finisci di scrivere la dimostrazione.
Lo farò, ma nei prossimi giorni.
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