Probabilità in un set infinito
Non troppi giorni fa, con alcuni aspiranti matematici, ci trastullavamo con una domanda a prima vista banale, ma dalle molteplici interpretazioni, che vorrei riproporre qui così come l'ho sentita formulare.
Sia dato un sacchetto, e nel sacchetto si inseriscano due palline rosse e una pallina blu. Si ripeta questo processo di inserimento di due rosse e una blu all'infinito. Qual è la probabilità di pescare una pallina blu?
Sono disponibile per chiarimenti sul testo, che mi rendo conto (e forse ne è proprio l'intento!) essere vago: possiedo una soluzione proposta da un dottorando in Teoria dei Numeri, se qualcuno la smentisse sarei lieto di ascoltarlo!
Ciao!
Sia dato un sacchetto, e nel sacchetto si inseriscano due palline rosse e una pallina blu. Si ripeta questo processo di inserimento di due rosse e una blu all'infinito. Qual è la probabilità di pescare una pallina blu?
Sono disponibile per chiarimenti sul testo, che mi rendo conto (e forse ne è proprio l'intento!) essere vago: possiedo una soluzione proposta da un dottorando in Teoria dei Numeri, se qualcuno la smentisse sarei lieto di ascoltarlo!
Ciao!
Risposte
La risposta è evidente: la possibilità è 0, in quanto ad un certo punto il sacchetto si romperà sotto il peso delle palline.
No, a parte scherzi, il problema mi ha incuriosito, anche se dalla mia ho solo qualche lezione di probabilità e calcolo combinatorio di V liceo e due esami di Analisi.
È ovvio che al primo inserimento la probabilità, detta proprio come rapporto tra casi favorevoli e casi totali, è 1/3, ed essa rimane tale ad ogni inserimento.
È analogo a chiedere la probabilità di prendere, tirato a caso un numero, un multiplo di 3, immagino.
Per quanto siano infiniti entrambi i casi, dovrebbero essere infiniti dello stesso ordine e dunque rapportabili, facendo rimanere il rapporto 1/3.
Probabilmente questa è la soluzione "evidente" ed errata, ma sono curioso di sapere come viene affeontato il problema.
No, a parte scherzi, il problema mi ha incuriosito, anche se dalla mia ho solo qualche lezione di probabilità e calcolo combinatorio di V liceo e due esami di Analisi.
È ovvio che al primo inserimento la probabilità, detta proprio come rapporto tra casi favorevoli e casi totali, è 1/3, ed essa rimane tale ad ogni inserimento.
È analogo a chiedere la probabilità di prendere, tirato a caso un numero, un multiplo di 3, immagino.
Per quanto siano infiniti entrambi i casi, dovrebbero essere infiniti dello stesso ordine e dunque rapportabili, facendo rimanere il rapporto 1/3.
Probabilmente questa è la soluzione "evidente" ed errata, ma sono curioso di sapere come viene affeontato il problema.
L'interesse verso questo post mi pare scemato (se mai ve n'è stato), quindi riporto le nostre conclusioni.
Questa interpretazione vede l'inserimento "in corsa" delle palline. Insomma, si fa il limite per il numero di palline che aumenta verso infinito, ma è chiaro che questo è $1/3$. E' un modo di vedere la questione, dato che la domanda non specifica esattamente quando estrarre e calcolare quindi la probabilità.
Questo è il punto centrale della nostra interpretazione: se assumiamo che le palline siano infinite, e che le rosse siano il doppio delle blu, abbiamo due insiemi che chiameremo $R$, palline rosse, e $B$, palline blu. La cardinalità dei due insiemi è la cardinalità del numerabile, ossia hanno la stessa cardinalità, vi sono tante rosse quante blu (anche se effettivamente infinite). Significherebbe allora che la probabilità di pesca sarebbe $1/2$.
Ma ora si pone un'altra domanda: possiamo parlare di probabilità in questo caso? Non possiamo parlare di probabilità utilizzando le cardinalità, ma bisogna adottare un altro sistema. Si usa quella che è chiamata Densità Naturale o Asintotica. Tramite questa definizione, possiamo calcolare la probabilità, tenendo conto che le palline blu sono un subset di $ZZ$, precisamente sono $ZZ_3$. La probabilità di estrarne una blu allora torna $1/3$.
Mi rendo conto che il problema è piuttosto mal posto, e mi scuso dell'imprecisione poco degna di un matematico, ma questa è la sua forma originale (con cui l'ho conosciuto io, almeno).
Ciao!
"dantehorrorshow":
È ovvio che al primo inserimento la probabilità, detta proprio come rapporto tra casi favorevoli e casi totali, è 1/3, ed essa rimane tale ad ogni inserimento.
Questa interpretazione vede l'inserimento "in corsa" delle palline. Insomma, si fa il limite per il numero di palline che aumenta verso infinito, ma è chiaro che questo è $1/3$. E' un modo di vedere la questione, dato che la domanda non specifica esattamente quando estrarre e calcolare quindi la probabilità.
"dantehorrorshow":
Per quanto siano infiniti entrambi i casi, dovrebbero essere infiniti dello stesso ordine e dunque rapportabili, facendo rimanere il rapporto 1/3.
Questo è il punto centrale della nostra interpretazione: se assumiamo che le palline siano infinite, e che le rosse siano il doppio delle blu, abbiamo due insiemi che chiameremo $R$, palline rosse, e $B$, palline blu. La cardinalità dei due insiemi è la cardinalità del numerabile, ossia hanno la stessa cardinalità, vi sono tante rosse quante blu (anche se effettivamente infinite). Significherebbe allora che la probabilità di pesca sarebbe $1/2$.
Ma ora si pone un'altra domanda: possiamo parlare di probabilità in questo caso? Non possiamo parlare di probabilità utilizzando le cardinalità, ma bisogna adottare un altro sistema. Si usa quella che è chiamata Densità Naturale o Asintotica. Tramite questa definizione, possiamo calcolare la probabilità, tenendo conto che le palline blu sono un subset di $ZZ$, precisamente sono $ZZ_3$. La probabilità di estrarne una blu allora torna $1/3$.
Mi rendo conto che il problema è piuttosto mal posto, e mi scuso dell'imprecisione poco degna di un matematico, ma questa è la sua forma originale (con cui l'ho conosciuto io, almeno).
Ciao!
Stocasticamente parlando il problema non è chiaro!
Hai un'urna che può contenere una infinità (numerabile) di biglie; si possono inserire assieme(!) \(\displaystyle2\) biglie rosse e una (\(\displaystyle1\)) blu.
Mi domando e chiedo:
[list=1]
[*:26j68pgy]si estrae una biglia (dall'urna) alla (teorica) fine dell'inserimento?[/*:m:26j68pgy]
[*:26j68pgy]a ogni inserimento si estrae una biglia?, se sì: viene re-inserita oppure no?[/*:m:26j68pgy][/list:o:26j68pgy]
Hai un'urna che può contenere una infinità (numerabile) di biglie; si possono inserire assieme(!) \(\displaystyle2\) biglie rosse e una (\(\displaystyle1\)) blu.
Mi domando e chiedo:
[list=1]
[*:26j68pgy]si estrae una biglia (dall'urna) alla (teorica) fine dell'inserimento?[/*:m:26j68pgy]
[*:26j68pgy]a ogni inserimento si estrae una biglia?, se sì: viene re-inserita oppure no?[/*:m:26j68pgy][/list:o:26j68pgy]
"j18eos":
[list=1]
[*:28m9csj0]si estrae una biglia (dall'urna) alla (teorica) fine dell'inserimento?[/*:m:28m9csj0]
[*:28m9csj0]a ogni inserimento si estrae una biglia?, se sì: viene re-inserita oppure no?[/*:m:28m9csj0][/list:o:28m9csj0]
Mi rendo conto che il problema è mal posto, e quelle che hai citato tu sono le due interpretazioni principali del problema. Unico appunto: l'estrazione, se fatta ogni volta, comporta il reinserimento della pallina.
Quando lo posero a me, io propendetti per la prima interpretazione, coi risultati di cui sopra.
Detta \(\displaystyle p_n\) la probabilità di estrarre una biglia blu all'\(\displaystyle n\)-simo inserimento, tu hai che:
\[
p=\lim_{n\to+\infty}p_n=\lim_n\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
\]
Si potrebbe formalizzare meglio utilizzando una successione di variabili aleatorie; ma il risultato non cambia!
\[
p=\lim_{n\to+\infty}p_n=\lim_n\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
\]
Si potrebbe formalizzare meglio utilizzando una successione di variabili aleatorie; ma il risultato non cambia!
"Frink":[NB. Il grassetto è mio].
[...]Sia dato un sacchetto, e nel sacchetto si inseriscano due palline rosse e una pallina blu. Si ripeta questo processo di inserimento di due rosse e una blu all'infinito.
Occhio: "Infinito" non è un numero!
• Ho un insieme numerabile. Mi metto a contare i suoi elementi (ossia: metto in corrispondenza biunivoca i suoi elementi ed i numeri naturali in successione naturale a partire da "1"). Ad un certo punto il conteggio finisce. Quando ho finito sono arrivato a contare N. Allora N è la cardinalità dell'insieme.
• Prendo 1 e lo divido per 2. Poi prendo il risultato della divisione e lo divido ancora per 2. E continuo così, dividendo per 2 il risultato della precedente divisione. Contemporaneamente conto il numero di divisioni.
In sostanza costruisco la successione: a(0)=1; a(1)=a(0)/2; a(2)=a(1)/2; a(3)=a(2)/2; ...; a(n+1)=a(n)/2; ...
Chiaramente per ogni n contato ho a(n) = 1/2^n.
Ricorrentemente ho: a(0) = 1; Per qualsiasi n naturale a(n+1) = a(n)/2.
Quello che conto sono le potenze di 1/2.
E chiaramente non finirò mai di contarle tutte.
Occhio all'etimologia!
"Infinito" è un insieme tale che il conteggio dei suoi elementi non finisce (nel senso che, dopo aver contato un numero grande a piacere di elementi, ne restano altri non ancora contati).
Ha senso la frase «Si ripeta questo processo di inserimento di due rosse e una blu all'infinito» se si intende che il "processo" non ha termine.
E' un "non-senso" sottindendere [nella presente fattispecie] che la pallina verà estratta da una infinità di palline, (ossia dopo aver inserito una infinità di volte due rosse ed una blu), dato che il processo "non ha termine".
Insomma: i numeri naturali sono sì una infinità: ma non posso fra qualcosa dopo averne esaurito il conteggio!
"Frink":[NB: ho sostituito io "del numerabile" con "di $NN$"]
La cardinalità dei due insiemi è la cardinalità di $NN$, ossia hanno la stessa cardinalità, vi sono tante rosse quante blu (anche se effettivamente infinite). Significherebbe allora che la probabilità di pesca sarebbe $1/2$.
Eehhh no!
Dire che «tra due insiemi "infiniti" è possibile una corrispondenza biunivoca» non è lo stesso di dire che «un insieme ha tanti elementi quanti ne ha l'altro». Qust'ultima frase ha senso solo se i due insiemi sono finiti. Passi pure la dizione "cardinalità infinita" (allo stesso modo che anche nel linguaggio comune si dice "un numero infinito" – per esempio "di punti in un segmento", "di numeri razionali x in un intervallo a < x < b", ecc – ).
Mai, però, dimenticare che, in ogni caso, "infinito", "infinità", ecc. NON sono numeri.
---------
Ciao!
"Frink":Secondo me questa è l'unica interpretazione sensata.
Ma ora si pone un'altra domanda: possiamo parlare di probabilità in questo caso? Non possiamo parlare di probabilità utilizzando le cardinalità, ma bisogna adottare un altro sistema. Si usa quella che è chiamata Densità Naturale o Asintotica. Tramite questa definizione, possiamo calcolare la probabilità, tenendo conto che le palline blu sono un subset di $ZZ$, precisamente sono $ZZ_3$. La probabilità di estrarne una blu allora torna $1/3$.
@Martino
concordo, mio omonimo, anche se non è farina del mio sacco!
@Erasmus_First
Nel caso ti stessi chiedendo se so di cosa parlo.
Come detto, non è un testo proposto a un'ammissione o a un concorso, è una domanda sorta tra studenti, di cui ognuno si senta libero di dare l'interpretazione che preferisce. j18eos ad esempio l'ha interpretata in senso di limite, ossia un'estrazione dopo ogni inserimento, quindi sempre con un numero finito di palline tendente a infinito (il grassetto l'ho messo io).
Io invece, e credo come me Martino, vedo il problema una volta dato un set costruito con le succitate caratteristiche. Parto da ciò che mi è noto, ossia cardinalità infinita dell'insieme delle rosse e dell'insieme delle blu, e qui mi pongo il problema.
Scegli pure l'interpretazione che preferisci.
Ciao,
Frink (alias Martino
)
concordo, mio omonimo, anche se non è farina del mio sacco!
@Erasmus_First
"Frink":
Mi rendo conto che il problema è piuttosto mal posto, e mi scuso dell'imprecisione poco degna di un matematico, ma questa è la sua forma originale (con cui l'ho conosciuto io, almeno).
"Frink":
[...] mi rendo conto (e forse ne è proprio l'intento!) essere vago [...]
"Frink":
Mi rendo conto che il problema è mal posto, e quelle che hai citato tu sono le due interpretazioni principali del problema.
Nel caso ti stessi chiedendo se so di cosa parlo.
Come detto, non è un testo proposto a un'ammissione o a un concorso, è una domanda sorta tra studenti, di cui ognuno si senta libero di dare l'interpretazione che preferisce. j18eos ad esempio l'ha interpretata in senso di limite, ossia un'estrazione dopo ogni inserimento, quindi sempre con un numero finito di palline tendente a infinito (il grassetto l'ho messo io).
Io invece, e credo come me Martino, vedo il problema una volta dato un set costruito con le succitate caratteristiche. Parto da ciò che mi è noto, ossia cardinalità infinita dell'insieme delle rosse e dell'insieme delle blu, e qui mi pongo il problema.
Scegli pure l'interpretazione che preferisci.
Ciao,
Frink (alias Martino
)
@ Frink
Scusa se insisto.
Cosa vuol dire, per te, "problema malposto"?
Un conto sarebbe se tu chiedessi: "Qual è la probabilità che un numero intero positivo preso a caso sia divisibile per tre?"
[Uno, piuttosto pignolo, potrebbe obiettare che ancora il quiz è malposto perché si dà per sottinteso che ogni numero intero sia equiprobabile, mentre bisognerebbe dichiarare espressamente una tale ipotesi, dato che essa è impossibile nella pratica].
Tutt'altro altro è precisare un processo come quello che hai precisato nella presente fattispecie.
Nel primo caso c'è una infinità "attuale" di numeri (interi positivi).
Nel secondo no: l'infinità non ce l'hai.
Scusa ancora se mi ripeto.
Ripeto quella frase che voleva essere riassuntiva (e che ti invito a riconsiderare):
«I numeri naturali sono sì una infinità: ma non posso fra qualcosa dopo averne esaurito il conteggio!»
[Non posso fare qualcosa "dopo" perché questo "dopo" non esiste, dato che il conteggio, per definizione, non può terminare].
Insomma: dire che la pallina viene estratta da una infinità di palline dopo aver continuato all'infinito l'aggiunta di due palline rosse e una blu, non è esporrre male: è esporre sbagliato.
Non si tratta dunque di diverse possibili interpretazioni.
L'unica interpretazione corretta è che la pallina viene estratta da un numero 3N di palline (con N grande a piacere, ma sempre "numero intero" e mai "infinità") di cui 2N rosse e N blu.
Ciao ciao.
Scusa se insisto.
Cosa vuol dire, per te, "problema malposto"?
Un conto sarebbe se tu chiedessi: "Qual è la probabilità che un numero intero positivo preso a caso sia divisibile per tre?"
[Uno, piuttosto pignolo, potrebbe obiettare che ancora il quiz è malposto perché si dà per sottinteso che ogni numero intero sia equiprobabile, mentre bisognerebbe dichiarare espressamente una tale ipotesi, dato che essa è impossibile nella pratica].
Tutt'altro altro è precisare un processo come quello che hai precisato nella presente fattispecie.
Nel primo caso c'è una infinità "attuale" di numeri (interi positivi).
Nel secondo no: l'infinità non ce l'hai.
Scusa ancora se mi ripeto.
Ripeto quella frase che voleva essere riassuntiva (e che ti invito a riconsiderare):
«I numeri naturali sono sì una infinità: ma non posso fra qualcosa dopo averne esaurito il conteggio!»
[Non posso fare qualcosa "dopo" perché questo "dopo" non esiste, dato che il conteggio, per definizione, non può terminare].
Insomma: dire che la pallina viene estratta da una infinità di palline dopo aver continuato all'infinito l'aggiunta di due palline rosse e una blu, non è esporrre male: è esporre sbagliato.
Non si tratta dunque di diverse possibili interpretazioni.
L'unica interpretazione corretta è che la pallina viene estratta da un numero 3N di palline (con N grande a piacere, ma sempre "numero intero" e mai "infinità") di cui 2N rosse e N blu.
Ciao ciao.
"Erasmus_First":
Un conto sarebbe se tu chiedessi: "Qual è la probabilità che un numero intero positivo preso a caso sia divisibile per tre?"
[Uno, piuttosto pignolo, potrebbe obiettare che ancora il quiz è malposto perché si dà per sottinteso che ogni numero intero sia equiprobabile, mentre bisognerebbe dichiarare espressamente una tale ipotesi, dato che essa è impossibile nella pratica].
A questa obiezione del "piuttosto pignolo" risponde il link che ho postato sopra, Densità Naturale, che serve nella definizione di probabilità in un set infinito.
L'interpretazione (scusa se continuo a chiamarla così, magari sarà più chiaro tra poco) che dai tu del problema è prettamente fisica. Mi spiego meglio: non è possibile arrivare a estrarre una pallina alla fine di tale processo. Non è assolutamente sbagliato: un'esperimento del genere non potrà mai avere luogo.
L'intento dell'enunciato però secondo me è far nascere il dubbio che il set di blu sia $3\mathbb{N}$ mentre tutto il set sia $\mathbb{N}$, per sollevare qualche domanda in più. Sarebbe assurdo dire altrimenti "Si prendano due set infiniti di palline rosse e di palline blu. Le prime sono il doppio delle seconde.": il modo migliore per aprire la strada a questa situazione è quello che il problema pone.
Altrimenti la tua interpretazione è ovvia e corretta: semplicemente ho scelto di interpretare il problema in maniera molto più astratta, mai praticabile, e tuttavia ho imparato qualcosa di nuovo.
"Frink":No, Frink. La mia obiezione era "teorica", astraendo appunto da quella particolare fattispecie "fisica" il tuo vero intento: un insieme di una "infinità" di elementi dal quale poi sorteggiare un elemento con equiprobabilità.
L'interpretazione (scusa se continuo a chiamarla così, magari sarà più chiaro tra poco) che dai tu del problema è prettamente fisica.
Ho parlato per questo di "infinito attuale" (= effettivo!) ... che non può essere raggiunto con un "processo" (matematizzato fin che vuoi) in cui, sostanzialmente, c'è comunque una "successione" (intrinsecamente "numerabile").
"Frink":D'accordo su tutto, tranne l'ultima proposizione. [Credimi: non lo dico adesso perché solo adesso lo ammetto!]
L'intento dell'enunciato però secondo me è far nascere il dubbio che il set di blu sia $3\mathbb{N}$ mentre tutto il set sia $\mathbb{N}$, per sollevare qualche domanda in più. Sarebbe assurdo dire altrimenti "Si prendano due set infiniti di palline rosse e di palline blu. Le prime sono il doppio delle seconde.": il modo migliore per aprire la strada a questa situazione è quello che il problema pone.
E' ben possibile (e in tanti modi) concepire insiemi A di effettiva "cardinalità infinita", [unione di due insiemi disgiunti B e C pure di "cardinalità infinita"] tali che un elemento sorteggiato da A con equiprobabilità abbia probabilità Pb di appartenere a B e probabilità Pc ( con Pc ≠ Pb) di appartenere a C.
Te ne dico uno ... facilissimo, [che puoi anche "collaudare" con un buon generatore di numeri (pseudo)random, anche se ovviamente, la simulazione serve per "rendere l'dea", mica per estrarre davvero un elemento da una infinità].
Considera (nel piano cartesiano di punti di coordinate [x, y]) il quadrato di vertici [0, 0], [1, 0], [1, 1] e [0, 1].
Dividilo in due rettangoli con la retta di equazione y = 1/3.
Dipingi – tanto per far scena! – di blu il rettangolo inferiore (con ordinate y tra 0 e 1/3) e di rosso quello superiore (con y tra 1/3 e 1).
Continua – anche solo ... mentalmente! – a sorteggiare un punto del quadrato supponendo che sia equiprobabile che ti capiti questo o quel punto (oosia: pensando ad una ascissa x e ad una ordinata y entrambe equiprobabili tra 0 e 1). Orbene: la probabilità che il punto sorteggiato appartenga al rettangolo "rosso" alto 2/3 è proprio 2/3 (ed è 1/3 la probabilità che appartenga al rettangolo "blu" alto 1/3).
Puoi collaudare in pratica questo esito continuando a generare coppie di "numeri random" (tra 0 e 1) [con un buon generatore, of course] in cui interpreti il primo numero come ascissa ed il secondo come ordinata e contando le volte che il numero casca nel rettangolo rosso e quelle in cui casca nel rettangolo blu.
Ciao ciao
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