Probabilità condizionata

[fu^2]

Un altro esercizio per chi sta iniziando o studiando un po' di probabilità condizionata

Tutti sanno che la probabilità condizionata può essere definita oltre che per v.a. integrabili, anche per v.a. positive. In questo caso però la probabilità condizionata potrebbe non essere finita. Propongo quindi questo simpatico e tranquillo esercizio:

Sia $(\Omega, F, \mathbb{P})$ uno spazio di probabilità, sia $G\subset F$ una sub-sigma algebra e $X$ una v.a. non-negativa.
Allora $E(X|G)<\infty$ q.c. se e solo se la misura $A\mapsto E(X1_A)$ è sigma-finita su $G$ (ovvero che esiste una partizione di $\Omega$ di eventi $A_n\in G$ tutti di misura finita.

[DajeForte]

implicazione da destra a sinistra:

$Y=E[X|G]=sum_n 1_{A_n}\ (1_{A_n} E[X|G])$
dove gli $A_n$ sono una partizione di $Omega$ tale che $ E[X1_{A_n}]< + infty$.
Le variabili tra parentesi sono integrabili e dunque finite; la successione degli inditacori assume valore 1 solo in un naturale. Dunque $Y<+infty$.

Da sinistra a destra:

considero gli eventi $A_n=(Y<= n)$. L'insieme $A= bigcup_n A_n$ ha misura 1.
$E[1_{A_n}X]=E[1_{A_n}E[X|G]]<=n$.
Basta ora considerare la successione di eventi $A^c,\ A_1,\ A_2,...$