Potenza di primo di Mersenne

[Studente Anonimo]

Mostrare che se $p$ è un primo, $m,n$ sono interi positivi e $p^m=2^n-1$ allora $m=1$, cioè $p^m=p$ è un primo di Mersenne. In altre parole se un numero di Mersenne è una potenza di un primo allora è un primo!

[dissonance]

Questo problema è molto carino ma vedo che è rimasto senza risposte. Potresti dare un suggerimento?

[Studente Anonimo]

Innanzitutto mostrare che $m$ è dispari.

Poi scrivere $2^n=p^m+1=$...

[marco.ruggiero]

Se m è dispari, si ha

$2^n=p^m+1=(p+1)(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$

Non può essere $p=2$, in quanto $3$ non divide $2^n$. Se $p!=2$, $p$ è dispari; in tal caso, il fattore $(p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1)$ è dispari,poichè somma algebrica un numero dispari$(m)$ di addendi dispari, e poichè divide $2^n$, dev'essere una potenza di $2$. Può quindi risultare soltanto:

$p^(m-1)-p^(m-2)+...-p+1=1$,

per cui $2^n=p+1=>p=2^n-1=p^m$

[dissonance]

@mario: mi piace, ma il prodotto di un numero pari per un numero dispari è pari, per esempio \(2\cdot 3\) è pari.

[marco.ruggiero]

Hai ragione @dissonance, ho preso una svista ... .Ho scritto prodotto di pari per un dispari, e ho pensato al prodotto di due dispari . Correggo subito. Purtroppo, per ora, non ho la soluzione per $m$ pari.

[Studente Anonimo]

"mario9555":Purtroppo, per ora, non ho la soluzione per $m$ pari.

Questa è la parte facile prova a ridurre modulo ...