Polinomio P(x,y) - SNS 1991
Salve! Diciamo che non mi sono fatta pregare per proporre un altro esercizio.. 
"Costruire un polinomio (a coefficienti reali) $P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ verificante le proprietà:
a) $P(x,y)=0$ soltanto per $x=y=0$,
b) se $x$ e $y$ sono due numeri interi allora anche $P(x,y)$ è un intero.
Determinare poi il massimo della quantità $b^2-4ac$ al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti."
Allora, per imporre la proprietà a), ho pensato di considerare $ax^2+bxy+cy^2=0$ come un'equazione di secondo grado, ricavando prima $x$ e poi $y$ per imporre che non sia possibile trovare una $x$ che al variare di $y$ renda il polinomio nullo e viceversa una $y$ al variare della $x$. Cioè ottengo le due soluzioni
$x_(1,2)=(-by+-sqrt(b^2y^2-4acy^2))/(2a)$
$y_(1,2)=(-bx+-sqrt(b^2x^2-4acx^2))/(2a)$.
Per far sì che queste soluzioni non diano dei risultati reali di $x$ o $y$ (in tal caso sostituendo tali valori, che sono diversi da zero, al polinomio, esso si annullerebbe), impongo il delta minore di zero e cioè $b^2-4ac<0$.
Per imporre la proprietà b), suppongo che basti imporre che i coefficienti $a$, $b$, $c$ siano interi.
Con tali condizioni, scrivo ad esempio il polinomio $P(x,y)=x^2+xy+y^2$
Per determinare il massimo del delta ho molte difficoltà. Come ho detto prima, deve essere minore strettamente di zero, e quindi mi verrebbe da dire che non c'è un massimo di quella quantità ma solo un estremo superiore che è, appunto, zero.
Queste sono le mie ipotesi.
Grazie mille dell'aiuto.
"Costruire un polinomio (a coefficienti reali) $P(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$ verificante le proprietà:
a) $P(x,y)=0$ soltanto per $x=y=0$,
b) se $x$ e $y$ sono due numeri interi allora anche $P(x,y)$ è un intero.
Determinare poi il massimo della quantità $b^2-4ac$ al variare di P nell'insieme dei polinomi soddisfacenti le proprietà precedenti."
Allora, per imporre la proprietà a), ho pensato di considerare $ax^2+bxy+cy^2=0$ come un'equazione di secondo grado, ricavando prima $x$ e poi $y$ per imporre che non sia possibile trovare una $x$ che al variare di $y$ renda il polinomio nullo e viceversa una $y$ al variare della $x$. Cioè ottengo le due soluzioni
$x_(1,2)=(-by+-sqrt(b^2y^2-4acy^2))/(2a)$
$y_(1,2)=(-bx+-sqrt(b^2x^2-4acx^2))/(2a)$.
Per far sì che queste soluzioni non diano dei risultati reali di $x$ o $y$ (in tal caso sostituendo tali valori, che sono diversi da zero, al polinomio, esso si annullerebbe), impongo il delta minore di zero e cioè $b^2-4ac<0$.
Per imporre la proprietà b), suppongo che basti imporre che i coefficienti $a$, $b$, $c$ siano interi.
Con tali condizioni, scrivo ad esempio il polinomio $P(x,y)=x^2+xy+y^2$
Per determinare il massimo del delta ho molte difficoltà. Come ho detto prima, deve essere minore strettamente di zero, e quindi mi verrebbe da dire che non c'è un massimo di quella quantità ma solo un estremo superiore che è, appunto, zero.
Queste sono le mie ipotesi.
Grazie mille dell'aiuto.
Risposte
Sia n un numero intero non nullo; allora $P(n,0)=an^2$ non deve essere nullo, quindi $a \ne 0$ e deve essere intero per ogni n, quindi $a$ è intero. Analogamente, $c$ è un intero non nullo; per verificare la seconda condizione anche $b$ deve essere intero. Ne consegue che è intero anche $Delta=b^2-4ac$ e poichè, come giustamente noti, deve essere negativo, il suo valore massimo è -1.
il punto a mi pare tu l'abbia fatto bene, poi un paio di considerazioni: è vero che il massimo per $\Delta$ non c'è se conti solo la condizione a, ma dovrà venir fuori se includi anche la condizione b.
allora: se tu vuoi avere $a,b,c$ interi, ne consegue che $\Delta$ sarà un numero intero, ovviamente.
e perciò devi trovare il minore $\Delta$ possibile che rispetti tre proprietà:
essere minore di $0$
essere intero (ovviamente questo aiuta enormemente)
tale che esistano $a,b,c$ tali che $\Delta=b^2-4ac$ (non è da sottovalutare, anzi...)
però rimane ancora da dimostrare che è necessario che $a,b,c$ siano interi.
EDIT: ok giammaria ha dimostrato che devono essere interi, bene.
ma... il risultato non mi piace....
allora: se tu vuoi avere $a,b,c$ interi, ne consegue che $\Delta$ sarà un numero intero, ovviamente.
e perciò devi trovare il minore $\Delta$ possibile che rispetti tre proprietà:
essere minore di $0$
essere intero (ovviamente questo aiuta enormemente)
tale che esistano $a,b,c$ tali che $\Delta=b^2-4ac$ (non è da sottovalutare, anzi...)
però rimane ancora da dimostrare che è necessario che $a,b,c$ siano interi.
EDIT: ok giammaria ha dimostrato che devono essere interi, bene.
ma... il risultato non mi piace....
Hai ragione; il massimo è -3. Infatti, posto $b^2-4ac=-k$, se ne deduce che $A=b^2+k$ deve essere divisibile per 4.
Per k=1, se $b$ è pari A è dispari; se $b$ è dispari A è pari ma non divisibile per 4.
Per k=2 vale lo stesso a parità invertite.
Per k=3 non ci sono problemi; $b$ deve essere dispari. Una possibile soluzione è $a=b=c=1$
Per k=1, se $b$ è pari A è dispari; se $b$ è dispari A è pari ma non divisibile per 4.
Per k=2 vale lo stesso a parità invertite.
Per k=3 non ci sono problemi; $b$ deve essere dispari. Una possibile soluzione è $a=b=c=1$
Ah, giusto, non consideravo più la seconda condizione... Grazie Grazie Grazie!
A me la dimostrazione di giammaria sembra sufficiente, no?
Devo ammettere di non aver capito l'ultimo intervento di giammaria..
Grazie ancora!
A me la dimostrazione di giammaria sembra sufficiente, no?
Devo ammettere di non aver capito l'ultimo intervento di giammaria..
Grazie ancora!
Ponendo $b^2-4ac=-k$ si ha che $b^2+k=4ac$ ovvero $b^2+k\equiv 0 (\mod4)$ (la somma è multiplo di 4).
Ora dobbiamo cercare il massimo $-k$ (che è negativo), cioè il minimo $k$ (che è positivo).
Giammaria ha visto i primi casi, se $k=1,2$ non si può. Siccome per $k=3$ non ci sono assurdi, quello è il valore cercato, è il minimo.
Sotto niente.
$b^2+1$ infatti non è mai multiplo di $4$: dovendo infatti essere $b$ dispari, ho $b=2n+1$ cioè $(2n+1)^2+1$ ovvero
$4n^2+4n+2$ che vale $2$ e non $0$ modulo 4.
$b^2+2$ ugualmente, se pari, vale 2 modulo 4 e mai zero.
Ti torna ora?
Ora dobbiamo cercare il massimo $-k$ (che è negativo), cioè il minimo $k$ (che è positivo).
Giammaria ha visto i primi casi, se $k=1,2$ non si può. Siccome per $k=3$ non ci sono assurdi, quello è il valore cercato, è il minimo.
Sotto niente.
$b^2+1$ infatti non è mai multiplo di $4$: dovendo infatti essere $b$ dispari, ho $b=2n+1$ cioè $(2n+1)^2+1$ ovvero
$4n^2+4n+2$ che vale $2$ e non $0$ modulo 4.
$b^2+2$ ugualmente, se pari, vale 2 modulo 4 e mai zero.
Ti torna ora?
Sì tutto chiaro adesso. Grazie Steve!
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