$\pi_1(\mathbb R^3 \setminus R_n,x_0)$
Ispirato da questa discussione vi propongo questo simpatico esercizio:
Esercizio. Si considerino [tex]n[/tex] rette distinte passanti per l'origine di [tex]\mathbb R^3[/tex] e sia [tex]R_n[/tex] la loro unione; sia [tex]X_n = \mathbb R^3 \setminus R_n[/tex]. Si dimostri che [tex]\pi_1(X_n,x_0)[/tex] (dove [tex]x_0[/tex] è un punto qualsiasi di [tex]X_n[/tex]) è il gruppo libero su [tex]2n-1[/tex] elementi.
Bonus. Si calcolino anche tutti i gruppi di omologia singolare di [tex]X_n[/tex], a coefficienti in [tex]\mathbb Z[/tex].
Hint: è meno difficile di quello che può sembrare!
Esercizio. Si considerino [tex]n[/tex] rette distinte passanti per l'origine di [tex]\mathbb R^3[/tex] e sia [tex]R_n[/tex] la loro unione; sia [tex]X_n = \mathbb R^3 \setminus R_n[/tex]. Si dimostri che [tex]\pi_1(X_n,x_0)[/tex] (dove [tex]x_0[/tex] è un punto qualsiasi di [tex]X_n[/tex]) è il gruppo libero su [tex]2n-1[/tex] elementi.
Bonus. Si calcolino anche tutti i gruppi di omologia singolare di [tex]X_n[/tex], a coefficienti in [tex]\mathbb Z[/tex].
Hint: è meno difficile di quello che può sembrare!
Risposte
Abbiamo già discusso della soluzione nell'altra discussione, ma siccome ho in mente una soluzione generale che non faccia uso del teorema di Van Kampen o dell'induzione e che si adatta particolarmente bene anche al calcolo dell'omologia singolare di \(X_n\), lo propongo.
Come abbiamo già osservato, la sfera con \(2\,n\) buchi è un retratto forte di deformazione di \(X_n\) e possiamo quindi ridurci a questo spazio sia per il calcolo dell'omologia, sia per il calcolo del gruppo fondamentale.
Costruiamo quindi la decomposizione di Voronoi della sfera a partire dai nostri \(2\,n\) punti, definendo quindi una struttura di CW-complesso regolare su tale sfera (in cui le celle possiamo volendo considerarle poligonali). Siccome ogni \(2\)-cella ha un buco, l'\(1\)-scheletro \(K^{(1)}\) di questo spazio è un retratto forte di deformazione di \(X_n\). \(K^{(1)}\) è un grafo e quindi sappiamo che il suo gruppo fondamentale è ottenuto contraendo un suo albero di copertura minimo ad un punto ottenendo un bouquet di \(E - V + 1\) circonferenze. Per ottenere questo valore, consideriamo nuovamente la decomposizione di Voronoi e osserviamo che la caratteristica di Eulero-Poincaré di tale decomposizione è uguale a \(V - E + F = 2\), dove ci sono \(F = 2\,n\) facce. Per cui otteniamo che \( E - V = 2\,n - 2 \) e quindi che il gruppo fondamentale è il gruppo libero con \(2\,n - 1\) generatori come volevasi dimostrare.
A questo punto, calcolare i gruppi di omologia è immediato. \(X_n\) ha come retratto forte di deformazione un bouquet di \(2\,n - 1\) circonferenze, per cui si ha \(H_0(X_n) = \mathbb Z\) e \(H_1(X_n) = \mathbb Z^{2\,n - 1}\). Ovviamente \(H_k(X_n) = 0\) se \(k \ge 2\).
Ma a questo punto rilancio, sempre \(n\) rette, sempre \(\mathbb R^3\), ma questa volta si incontrano a coppie nei vertici di un poligono regolare di \(n\) lati (le rette sono in pratica i prolungamenti di tali lati). Sempre omotopia e omologia.. Buon divertimento.
Come abbiamo già osservato, la sfera con \(2\,n\) buchi è un retratto forte di deformazione di \(X_n\) e possiamo quindi ridurci a questo spazio sia per il calcolo dell'omologia, sia per il calcolo del gruppo fondamentale.
Costruiamo quindi la decomposizione di Voronoi della sfera a partire dai nostri \(2\,n\) punti, definendo quindi una struttura di CW-complesso regolare su tale sfera (in cui le celle possiamo volendo considerarle poligonali). Siccome ogni \(2\)-cella ha un buco, l'\(1\)-scheletro \(K^{(1)}\) di questo spazio è un retratto forte di deformazione di \(X_n\). \(K^{(1)}\) è un grafo e quindi sappiamo che il suo gruppo fondamentale è ottenuto contraendo un suo albero di copertura minimo ad un punto ottenendo un bouquet di \(E - V + 1\) circonferenze. Per ottenere questo valore, consideriamo nuovamente la decomposizione di Voronoi e osserviamo che la caratteristica di Eulero-Poincaré di tale decomposizione è uguale a \(V - E + F = 2\), dove ci sono \(F = 2\,n\) facce. Per cui otteniamo che \( E - V = 2\,n - 2 \) e quindi che il gruppo fondamentale è il gruppo libero con \(2\,n - 1\) generatori come volevasi dimostrare.
A questo punto, calcolare i gruppi di omologia è immediato. \(X_n\) ha come retratto forte di deformazione un bouquet di \(2\,n - 1\) circonferenze, per cui si ha \(H_0(X_n) = \mathbb Z\) e \(H_1(X_n) = \mathbb Z^{2\,n - 1}\). Ovviamente \(H_k(X_n) = 0\) se \(k \ge 2\).
Ma a questo punto rilancio, sempre \(n\) rette, sempre \(\mathbb R^3\), ma questa volta si incontrano a coppie nei vertici di un poligono regolare di \(n\) lati (le rette sono in pratica i prolungamenti di tali lati). Sempre omotopia e omologia.. Buon divertimento.
Fornisco un suggerimento per questo nuovo esercizio che potrebbe essere utile.
Se uno ci pensa, si accorge che le n rette dividono lo spazio in $r(n)=\frac{1}{2}(n^2+n+2)$ regioni. Per motivi che appaiono chiari a chiunque faccia un disegno allora lo spazio in questione retrae a due piani paralleli collegati da $r(n)$ segmentini; tale spazio a sua volta e' omotopicamente equivalente a un bouquet di $r(n)-1$ circonferenze, e la risposta appare chiara.
L'omologia al grado zero e' $\mathbb Z$, perche' questo coso e' conesso per archi, e al grado 1 e' l'abelianizzato di $\pi_1$, per il thm di Hurewicz.
Rilancieggio? Trovare il $\pi_1$ di
L'omologia al grado zero e' $\mathbb Z$, perche' questo coso e' conesso per archi, e al grado 1 e' l'abelianizzato di $\pi_1$, per il thm di Hurewicz.
Rilancieggio? Trovare il $\pi_1$ di
[*:3c8hd3y0] $\mathbb R^3$ meno una circonferenza che passa per il centro di altre $n$ circonferenze piu' piccole;[/*:m:3c8hd3y0]
[*:3c8hd3y0] $\mathbb R^3$ meno un $S^1$ che circonda $n$ rette parallele;[/*:m:3c8hd3y0]
[*:3c8hd3y0] $\mathbb R^3$ meno una retta che circonda $n$ circonferenze;[/*:m:3c8hd3y0]
[*:3c8hd3y0] il complementare, in $\mathbb R^3$, degli anelli di Borromeo.[/*:m:3c8hd3y0][/list:u:3c8hd3y0]
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