Per gli appassionati delle costanti $\zeta(n)$

[dan952]

Ieri sera vedendo i vari post di Erasmus mi sono venuti in mente questi tre problemi, calcolare le serie:
$\sum_{n \geq 2 }\frac{\zeta(n)}{n!}$
$\sum_{n \geq 2 }\frac{[\zeta(n)]^n}{n!}$
Dimostrando che sono irrazionali o ancora meglio trascendenti...
E il limite
$\lim_{n \rightarrow +\infty} [\zeta(n)]^n$

[dan952]

Il limite

Consideriamo la seguente stima per $\zeta(m)$:
$\zeta(n)=1+1/2^n+ o(1/2^n)$
Definitivamente si avrà
$1 \leq \zeta(n) \leq 1+1/2^{n-1} \Rightarrow 1 \leq [\zeta(n)]^n \leq (1+1/2^{n-1})^n \rightarrow 1$
L'ultimo limite si ricava dalla sostituzione $t=2^{n-1}$

[Erasmus_First]

"dan95":Ieri sera vedendo i vari post di Erasmus mi sono venuti in mente questi tre problemi, calcolare le serie:
$\sum_{n \geq 2 }\frac{\zeta(n)}{n!}$
$\sum_{n \geq 2 }\frac{[\zeta(n)]^n}{n!}$
Dimostrando che sono irrazionali o ancora meglio trascendenti...
E il limite
$\lim_{n \rightarrow +\infty} [\zeta(n)]^n$

Il limite $\lim_{n \rightarrow +\infty} [\zeta(n)]^n$ è palesemente 1, dato che per n tendente a +∞ ζ(n) stesso tende ad 1.
Non so risolvere le precedenti questioni.
E siccome il thread ha ormai parecchi giorni, speravo che qualcun altro ti rispondesse adeguatamente.
[Rigel? 'Ndo stai?]
Se non lo fa nessun altro, rispondi tu stesso!

Grazie dell'attenzione!
_______

[dan952]

"Erasmus_First":Il limite limn→+∞[ζ(n)]n è palesemente 1, dato che per n tendente a +∞ ζ(n) stesso tende ad 1.

Allora secondo quello che dici $\lim_{n \rightarrow+\infty} (1+1/n)^n=1$.
Per il resto hai ragione purtroppo li ho trascurati e non c'ho pensato più, adesso mi ci rimetto... Al diavolo l'UNI.

[Erasmus_First]

"dan95":Allora secondo quello che dici $\lim_{n \rightarrow+\infty} (1+1/n)^n=1$.

No. Questo limite – lo sanno anche i muri!!! – fa e≈2,71828182845905...
"Ho detto sciocco", O.K.
Tuttavia$\lim_{n \rightarrow+∞} [ζ(n)]^n=1$.
Lo dico con parole non certo rigorose:
Il limite, per n tendente a +∞, di $(1+ f(n))^n$ con $f(n)$ infinitesimo dipende dalla velocità con cui $f(n)$ tende a 0.
In generale, infatti, viene:
$\lim_{n \rightarrow+∞} [1+ f(n)]^n=\lim_{n \rightarrow+∞}e^(n·f(n))$.
Dunque: $\lim_{n \rightarrow+∞} [ζ(n)]^n =\lim_{n \rightarrow+\infty} (1+1/(2^n))^n =\lim_{n \rightarrow+\infty} e^(n·(1/2)^n) = e^0 = 1$.
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