Passaggio al limite sotto il "segno di lunghezza"
Sia $\mathcal{C}[0,1]:=\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}, f\in C^{0}[0,1], f(0)=f(1)=0$, $f$ $C^{1}$ a tratti
(cioè esiste $F\subset [0,1]$ finito per cui $f\in C^{1}$ ($[0,1]∖ F$ ))$ \}$.
Dalla teoria sappiamo che se $f\in C[0,1]$ allora $f$ è rettificabile, indichremo quindi con $l(f)$ la lunghezza di $f$.
Fissata una $\bar{f} \in\mathcal{C}[0,1]$, sia $\{f_{n}\}_{n}\subset\mathcal{C}[0,1]$ una successione
di funzioni tale che $\lim_{n\rightarrow \infty}f_{n}=\bar{f}$ uniformemente. Allora è vero
che $\lim_{n\rightarrow \infty}l(f_{n})=l(\bar{f})$?
(cioè esiste $F\subset [0,1]$ finito per cui $f\in C^{1}$ ($[0,1]∖ F$ ))$ \}$.
Dalla teoria sappiamo che se $f\in C[0,1]$ allora $f$ è rettificabile, indichremo quindi con $l(f)$ la lunghezza di $f$.
Fissata una $\bar{f} \in\mathcal{C}[0,1]$, sia $\{f_{n}\}_{n}\subset\mathcal{C}[0,1]$ una successione
di funzioni tale che $\lim_{n\rightarrow \infty}f_{n}=\bar{f}$ uniformemente. Allora è vero
che $\lim_{n\rightarrow \infty}l(f_{n})=l(\bar{f})$?
Risposte
Ovviamente no; non ho capito, però, se stai proponendo un esercizio o se stai cercando un aiuto per risolverlo.
No, era solo un esercizio, conosco la soluzione, ma a suo tempo mi fece un po' pensare ("la funzione gradino"...), ma tu confermi la risposta che per te è scontata.
"Livius":
No, era solo un esercizio, conosco la soluzione, ma a suo tempo mi fece un po' pensare ("la funzione gradino"...), ma tu confermi la risposta che per te è scontata.
Certo, quando si incontra la prima volta occorre pensarci un po'. Proprio per questo non ho fornito dettagli non sapendo se fosse una proposta di esercizio o una richiesta di aiuto. Magari la prossima volta esordisci con una frase del tipo "Propongo il seguente esercizio..." in maniera tale che non ci siano equivoci.
D'accordo, non mi ero ben espresso.
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