Paradosso nelle Formule di Cardano?
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Risposte
[xdom="giammaria"]Sposto in Pensare un po' di più: le formule di Cardano non sono argomento di secondaria.[/xdom]
Il paradosso ci sarebbe se una volta tanto ho azzeccato i calcoli. Vediamo
$x^3+px+q=0$, nel tuo caso
- $p=3-3i\sqrt(3)$
- $q=-6$
Non riporto molti calcoli, ma solo i passaggi fondamentali
$p^3= (3-3i \sqrt(3))^3=-216$
$\sqrt(q^2/4+p^3/27)= \sqrt(9-8)=1$
$\root(3)(-q/2+1)+\root(3)(-q/2-1)= \root(3)(4)+\root(3)(2)$
E questa dovrebbe essere una soluzione (tralascio momentaneamente le altre due)... peccato che wolframalpha mi dà 3 soluzioni complesse!
$x^3+px+q=0$, nel tuo caso
- $p=3-3i\sqrt(3)$
- $q=-6$
Non riporto molti calcoli, ma solo i passaggi fondamentali
$p^3= (3-3i \sqrt(3))^3=-216$
$\sqrt(q^2/4+p^3/27)= \sqrt(9-8)=1$
$\root(3)(-q/2+1)+\root(3)(-q/2-1)= \root(3)(4)+\root(3)(2)$
E questa dovrebbe essere una soluzione (tralascio momentaneamente le altre due)... peccato che wolframalpha mi dà 3 soluzioni complesse!
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"matdom":
E' mia opinione che queste formule abbiano un errore concettuale paragonabile a quelle di un altro famoso paradosso che riporto qui:
Scelgo 2 numeri a e b, unica condizione a $ ne $ b.[...]
Giammaria!
... no, scherzo, c'è tutta una serie di paradossi simili e ricordo che giammaria ultimamente ne aveva postato uno nel mio thread delle anticongetture.Ora, tolto il fatto che mi sa che ho sbagliato qualche calcolo
, non credo che ci sia quell'errore concettuale di cui parli perché le tre radici terze sono rispettate e, per quanto riguarda la radice quadrata si considera il modulo da prendere poi con i segni $\pm$, no?
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"matdom":
Provate a risolvere con Cardano questa: $ x^3-3(-1+isqrt(3))x-6=0 $
Infatti l'ho fatto... senza ricordarmi che Cardano è definito - non lui, il metodo
- con coefficienti reali...Comunque se mi ricordo e se non lo fa nessuno, quando tornerò la prossima settimana proverò la sostituzione di Vieté (info su wiki per chi non lo sapesse) che la vedo più interessante e (credo) svincolata da eventuale natura dei coefficienti.
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L'uso del termine paradosso in questo caso mi pare totalmente inappropriato.
Tanto più che mi sembra che "il paradosso" scaturisca da una non del tutto corretta applicazione delle formule.
A partire dall'equazione $x^3+px+q=0$ le soluzioni son date da:
$x=u+v= root(3)(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))+ root(3)(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27)) $
Tuttavia, e qui è il punto, le radici cubiche vanno estratte nel campo dei complessi, e dunque abbiamo tre possibilità per $u$ e tre per $v$. Ma in realtà non abbiamo nove soluzione poiché $u$ e $v$ devono rispettare anche la condizione $uv=-p/3$, dunque per ognuno dei tre valori che può assumere $u$ il valore di $v$ non è arbitrario ma va scelto in modo opportuno affinché sia soddisfatta la condizione.
Tanto più che mi sembra che "il paradosso" scaturisca da una non del tutto corretta applicazione delle formule.
A partire dall'equazione $x^3+px+q=0$ le soluzioni son date da:
$x=u+v= root(3)(-q/2+sqrt(q^2/4+p^3/27))+ root(3)(-q/2-sqrt(q^2/4+p^3/27)) $
Tuttavia, e qui è il punto, le radici cubiche vanno estratte nel campo dei complessi, e dunque abbiamo tre possibilità per $u$ e tre per $v$. Ma in realtà non abbiamo nove soluzione poiché $u$ e $v$ devono rispettare anche la condizione $uv=-p/3$, dunque per ognuno dei tre valori che può assumere $u$ il valore di $v$ non è arbitrario ma va scelto in modo opportuno affinché sia soddisfatta la condizione.
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Al di là del fatto che le formule che hai scritto sono sintatticamente incoerenti, dal discorso che fai si vede che hai le idee parecchio confuse sul significato della funzione reale segno, prima di imbarcarti nei calcoli o impostare problemi e soprattutto prima di trarre conclusioni dovresti schiarirtele.
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Fino a quando non metterai da parte il tuo sarcasmo (che peraltro, scusa la franchezza, ti riesce male) nessuno si metterà a leggere i tuoi deliri, siano essi giusti o sbagliati. Se c'è qualcuno che deve smettere di blaterare e cominciare a fare il matematico serio, prendendo carta e penna, cominciando a scrivere enunciati e dimostrazioni - magari degnandosi anche di spiegare le sue notazioni - be', quello sei tu.
E ti avviso che non hai più molto tempo: se pensi di avere qualcosa da dire, dillo adesso, altrimenti chiudo il topic e prenderemo provvedimenti.
E ti avviso che non hai più molto tempo: se pensi di avere qualcosa da dire, dillo adesso, altrimenti chiudo il topic e prenderemo provvedimenti.
@matdom non insulto. E non ho detto che hai fatto un errore di calcolo, né sono stato ambiguo, ho detto che quello che hai scritto non ha senso: figurano parentesi aperte e mai chiuse e viceversa, quindi è impossibile dire se i calcoli sono giusti o meno. E solitamente non cedo alle provocazioni, ma vedi mai che rispondere serva a qualcosa:
la funzione segno $sgn: RR \to {-1, +1}$ è definita a partire dal concetto di positività e negatività, legata alla costruzione di $ZZ$ (il quoziente di $NN^2$ rispetto alla relazione d'equivalenza $(a,b) ~ (c,d) \iff a+d = c+b$) che viene poi ereditata naturalmente da $QQ$ ed $RR$ in quanto strettamente legata alla relazione d'ordine definita su questi ultimi, in particolare si ha che $sgn(x)=-1 \iff x<0$ ecc.
Con la funzione radice quadrata, o con qualsiasi altra radice, non ha niente da spartire. La funzione radice quadrata, anzi, è definita positiva proprio per rispettare il segno, e non viceversa. Come sai le soluzioni in $RR$ dell'equazione $x^2 = a, a>0$ sono due, ma la funzione radice quadrata associa ad $x$ la soluzione positiva di quell'equazione. Questo perché la funzione radice quadrata possa risultare un automorfismo del gruppo $(RR_{+}-{0}, \cdot)$, detta in parole povere perché possa (tra l'altro) valere la relazione $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, con tutti i vantaggi che ciò comporta (estendere le proprietà delle potenze a esponente intero a quelle frazionarie, ecc.). Se fosse definita negativa, tutto ciò non accadrebbe. Se associasse due numeri ad uno solo, non sarebbe una funzione.
Meglio, per la radice cubica (intesa come funzione, definita su $RR$) non c'è neanche bisogno di adoperare una scelta, perché conserva il segno dell'elemento al quale è applicata. (Ciò è dovuto al fatto che la soluzione reale dell'equazione $x^3=a$ è unica ed ha lo stesso segno di $x$).
Ricapitolando: il segno nella sua definizione non ha a che fare con i radicali, le funzioni che estraggono le radici pari si definiscono ricorrendo al concetto di segno. Il fatto che il segno "si conservi", non è per virtù divina, ma perché è tutto definito in modo che ciò accada.
$CC$ non è ordinato, quindi la nozione di segno perde completamente di significato. Come conseguenza di questo e del fatto che le soluzioni dell'equazione $x^n=a, n\in NN, x,a \in CC$ sono, contate con la loro molteplicità, $n$, lo perdono anche le funzioni "estrazione di radice", che infatti non sono definite in $CC$. Il fatto che tu abbia preso le tre radici complesse di $1$ e le abbia volute chiamare "segno", non dà alcuna motivazione al fatto che tale "segno" si debba conservare nelle manipolazioni algebriche operate nelle formule di Cardano, certo non si conserva per costruzione o per definizione, quindi o dai una buona motivazione (i.e. dimostrazione) del fatto che tale "segno" si debba conservare per trovare le soluzioni di un'equazione di terzo grado "corrette", o hai scritto un enorme sproloquio privo di senso.
Ora spero di essere stato chiaro.
Un consiglio: se ti piace la matematica, prima di investire il tuo tempo in una qualsiasi ricerca, studiala. Altrimenti rischi nel migliore dei casi di riscoprire l'acqua calda e nel peggiore di farti prendere dalle manie di grandezza e sprecare il tuo tempo cercando di smontare i risultati di qualcun altro senza neanche averli capiti.
la funzione segno $sgn: RR \to {-1, +1}$ è definita a partire dal concetto di positività e negatività, legata alla costruzione di $ZZ$ (il quoziente di $NN^2$ rispetto alla relazione d'equivalenza $(a,b) ~ (c,d) \iff a+d = c+b$) che viene poi ereditata naturalmente da $QQ$ ed $RR$ in quanto strettamente legata alla relazione d'ordine definita su questi ultimi, in particolare si ha che $sgn(x)=-1 \iff x<0$ ecc.
Con la funzione radice quadrata, o con qualsiasi altra radice, non ha niente da spartire. La funzione radice quadrata, anzi, è definita positiva proprio per rispettare il segno, e non viceversa. Come sai le soluzioni in $RR$ dell'equazione $x^2 = a, a>0$ sono due, ma la funzione radice quadrata associa ad $x$ la soluzione positiva di quell'equazione. Questo perché la funzione radice quadrata possa risultare un automorfismo del gruppo $(RR_{+}-{0}, \cdot)$, detta in parole povere perché possa (tra l'altro) valere la relazione $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$, con tutti i vantaggi che ciò comporta (estendere le proprietà delle potenze a esponente intero a quelle frazionarie, ecc.). Se fosse definita negativa, tutto ciò non accadrebbe. Se associasse due numeri ad uno solo, non sarebbe una funzione.
Meglio, per la radice cubica (intesa come funzione, definita su $RR$) non c'è neanche bisogno di adoperare una scelta, perché conserva il segno dell'elemento al quale è applicata. (Ciò è dovuto al fatto che la soluzione reale dell'equazione $x^3=a$ è unica ed ha lo stesso segno di $x$).
Ricapitolando: il segno nella sua definizione non ha a che fare con i radicali, le funzioni che estraggono le radici pari si definiscono ricorrendo al concetto di segno. Il fatto che il segno "si conservi", non è per virtù divina, ma perché è tutto definito in modo che ciò accada.
$CC$ non è ordinato, quindi la nozione di segno perde completamente di significato. Come conseguenza di questo e del fatto che le soluzioni dell'equazione $x^n=a, n\in NN, x,a \in CC$ sono, contate con la loro molteplicità, $n$, lo perdono anche le funzioni "estrazione di radice", che infatti non sono definite in $CC$. Il fatto che tu abbia preso le tre radici complesse di $1$ e le abbia volute chiamare "segno", non dà alcuna motivazione al fatto che tale "segno" si debba conservare nelle manipolazioni algebriche operate nelle formule di Cardano, certo non si conserva per costruzione o per definizione, quindi o dai una buona motivazione (i.e. dimostrazione) del fatto che tale "segno" si debba conservare per trovare le soluzioni di un'equazione di terzo grado "corrette", o hai scritto un enorme sproloquio privo di senso.
Ora spero di essere stato chiaro.
Un consiglio: se ti piace la matematica, prima di investire il tuo tempo in una qualsiasi ricerca, studiala. Altrimenti rischi nel migliore dei casi di riscoprire l'acqua calda e nel peggiore di farti prendere dalle manie di grandezza e sprecare il tuo tempo cercando di smontare i risultati di qualcun altro senza neanche averli capiti.
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