Ortogonali a una superificie

[Dobrogost]

Ciao! Mi potete aiutare con questo problema? Io ho provato a risolverlo in modo bovino, ma mi sembrano troppi calcoli...

Siano $S \subset \mathbb{R}^3$ e $T \subset \mathbb{R}^3$ due superifici definite come segue:
\begin{align} S: 2 x^2 + (y - 1)^2 + (z-10)^2 = 1 \end{align}
\begin{align} T: z= \frac{1}{x^2+y^2+1} \end{align}

Dimostrare che esistono $p \in S$ e $q \in T$ tali che la retta $pq$ che li congiunge è perpendicolare in $p$ a $S$ e in $q$ a $T$.

[killing_buddha]

Un modo potrebbe essere questo: per ogni punto $p$ di $S$ e $q$ di $T$ un vettore normale a $S$ in $p$ si scrive come \(u_p\land v_p\), dove \(\langle u_p , v_p\rangle\) genera lo spazio tangente a $S$ in $p$, e analogamente un vettore normale a $T$ in $q$ si scrive come \(x_p\land y_p\), dove $\langle x_p , y_p\rangle$ genera lo spazio tangente a $T$ in $q$.

Come si intersecano questi due spazi normali?

[Dobrogost]

Ho paura che la matematica e le notazioni che hai usato nella spiegazione non mi siano chiarissime. Che intendi per $u_pl$? La tua spiegazione si basa sul teoremi importanti riguardanti spazi normali e tangenti?

Perdonami madre por mi vida ingegnerida...

[killing_buddha]

Dimentico sempre che questo sito gestisce il codice TeX come una scimmia gestirebbe la "scienza della logica" di Hegel. Ho corretto: \(\land\) indica il prodotto vettoriale di due vettori.