Numeri uguali e distinti - SNS 1970
"Fissato un intero positivo $n$, determinare il più piccolo intero $m$ tale che, presi comunque $m$ interi, una almeno delle seguenti eventualità si verifichi:
a) tra gli $m$ numeri considerati, ve ne sono $n$ uguali;
b) tra gli $m$ numeri considerati, ve ne sono $n$ distinti."
Non mi è molto chiaro il testo. Presi $m$ numeri, se $n$ sono uguali, allora $m-n$ sono distinti, oppure devo considerare anche i casi di più gruppi di numeri uguali? Grazie per l'aiuto dell'interpretazione del testo.
a) tra gli $m$ numeri considerati, ve ne sono $n$ uguali;
b) tra gli $m$ numeri considerati, ve ne sono $n$ distinti."
Non mi è molto chiaro il testo. Presi $m$ numeri, se $n$ sono uguali, allora $m-n$ sono distinti, oppure devo considerare anche i casi di più gruppi di numeri uguali? Grazie per l'aiuto dell'interpretazione del testo.
Risposte
Io lo vedo così.
Se prendo $n$ allora devo prendere il più piccolo naturale $m$ tale che in $m$ numeri ce ne siano almeno $n$ uguali o distinti, ma potrebbero essercene anche di più. Trattandosi però del più piccolo $m$ si può ragionare direttamente sul caso di avere esattamente $n$ elementi uguali o distinti.
Se prendo $n$ allora devo prendere il più piccolo naturale $m$ tale che in $m$ numeri ce ne siano almeno $n$ uguali o distinti, ma potrebbero essercene anche di più. Trattandosi però del più piccolo $m$ si può ragionare direttamente sul caso di avere esattamente $n$ elementi uguali o distinti.
Intendi che $m$ deve essere tale da ottenere solo $n$ numeri uguali o distinti e non di più, giusto?
Non capisco come ottenere il caso che tu mi inviti ad analizzare: io ho $n$ dato. E' chiaro che se potessi prendere $m$ numeri uguali o distinti, mi basterebbe $m=n$, è solo che non posso farlo. Quindi non ho capito come mi consigli di ragionare..
Non capisco come ottenere il caso che tu mi inviti ad analizzare: io ho $n$ dato. E' chiaro che se potessi prendere $m$ numeri uguali o distinti, mi basterebbe $m=n$, è solo che non posso farlo. Quindi non ho capito come mi consigli di ragionare..
E perché mai non potresti farlo? Puoi, il punto è che non risolvi il problema.
Prendiamo $n=3$. Cerchiamo allora il più piccolo naturale $m$ tale che comunque presi $m$ numeri naturali, ce ne siano esattamente $n$ uguali o distinti.
Se prendo $m=3$ e scelgo $12,12,12$ allora sono a posto. Ma il problema è che per qualunque terna di naturali devo avere $3$ numeri uguali o distinti, il che non è possibile. Se provi euristicamente noterai che per $n=3$ bisogna prendere $m=5$, il che dovrebbe suggerirti che il numero $m$ è dato da...
Prendiamo $n=3$. Cerchiamo allora il più piccolo naturale $m$ tale che comunque presi $m$ numeri naturali, ce ne siano esattamente $n$ uguali o distinti.
Se prendo $m=3$ e scelgo $12,12,12$ allora sono a posto. Ma il problema è che per qualunque terna di naturali devo avere $3$ numeri uguali o distinti, il che non è possibile. Se provi euristicamente noterai che per $n=3$ bisogna prendere $m=5$, il che dovrebbe suggerirti che il numero $m$ è dato da...
Il numero $m$ per cui ancora non si realizzano le condizioni richieste è $m=(n-1)+(n-1)$ (è come se considerassi la prima parentesi come i numeri uguali e la seconda parentesi come numeri diversi, es: $n=3$, $m=(3-1)+(3-1)=4$, che non va bene solo per il caso in cui ci siano $(3-1)$ numeri uguali e $(3-1)$ numeri diversi). Quindi aggiungendo 1 a questo numero (cioè aggiungendo un numero che sia o uguale ai precedenti o distinto da essi) ottengo l'$m$ che cerco, cioé $m=(n-1)+(n-1)+1=2n-1$.
Che ne dici?
Che ne dici?
Che non funziona per $n=4$.
Indizio: $m=(n-1)^2+1$.
Indizio: $m=(n-1)^2+1$.
perché per $n=4$ non va bene $m=7$? Il caso limite è con 3 diversi e 4 uguali, o 4 diversi e 3 uguali, la cui somma è 7.. Per me il minimo $m$ è un numero dispari, la cui metà più un mezzo è uguale a $n$..
"elios":
perché per $n=4$ non va bene $m=7$? Il caso limite è con 3 diversi e 4 uguali, o 4 diversi e 3 uguali, la cui somma è 7.. Per me il minimo $m$ è un numero dispari, la cui metà più un mezzo è uguale a $n$..
perche' puoi prendere $1,1,1,2,2,2,3,3,3$ che in tutto sono 9 numeri tra cui non ce ne sono ne' quattro eguali ne' quattro diversi.
Ho capito.. Quindi il più piccolo $m$ per cui non valgono ancora le condizioni richieste è quel $m$ con cui si possono creare $(n-1)$ gruppi di $(n-1)$ numeri uguali (perché in questo caso troveremmo al massimo $n-1$ numeri uguali e al massimo $n-1$ numeri distinti), cioé $m=(n-1)^2$. Quindi il minimo $m$ con le condizioni richieste è $m=(n-1)^2+1$
Giusto?
Grazie infinite.
Giusto?
Grazie infinite.
Esattamente.
Chiaro. Grazie ancora.
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