Non esistenza di $\lim_{n\rightarrow \infty}\cos (2^{n})$

[Livius1]

Dimostrare la non esistenza, o meno, di $\lim_{n\rightarrow \infty}\cos (2^{n})$.
(Non conosco alcuna dimostrazione al riguardo). Avete, per favore, qualche suggerimento?

[Rigel1]

Puoi provare a usare il fatto che la successione \(x_n = \cos(2^n)\) soddisfa la relazione di ricorrenza \(x_{n+1} = 2 x_n^2-1\).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mi viene in mente questo.

[Rigel1]

"Martino":Mi viene in mente questo.

In effetti lavorare sulla classe limite di \((\cos n)_n\) è stata la prima cosa a venirmi in mente, ma non mi sembra che la cosa si possa adattare facilmente a questa sottosuccessione (ma forse mi sbaglio).
D'altra parte, l'analisi della relazione di ricorrenza, pur non permettendo di identificare la classe limite, permette di concludere che il limite non esiste.

[Livius1]

Rigel mi ha suggerito che la successione numerica $\{\cos (2^{n})\}_{n}$ coincide con la seguente
successione definita per ricorrenza
$\{x_{n}\}_{n}:=$ \begin{array}{ll} x_{1}=cos(2) & \textrm{ }\\ x_{n+1}=2x^{2}_{n}-1, & n\in\mathbb{N}^{+}\end{array}
Se esistesse $l=\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}$ allora $l=2l^{2}-1$, da cui $l=-\frac{1}{2},1$.
Ciò significa che $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=-\frac{1}{2}$ oppure $\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}=1$, ma se
$\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}\ne -\frac{1}{2}$ e
$\lim_{n\rightarrow \infty}x_{n}\ne 1$,
allora $\lim_{n\rightarrow \infty}\cos (2^{n})$ non può esistere, perciò, a mio avviso, toccherebbe studiare bene
il comportamento della successione $\{x_{n}\}_{n}$ sopra definita.
(scusate ma i comandi \left\{ e \right. per la parentesi { della definizione della successione per ricorrenza non vengono riconosciuti)

[Rigel1]

Esatto.
Se hai visto qualcosa di sistemi dinamici discreti, i due equilibri da te individuati sono instabili, dunque nessuna successione ricorrente (escluse quelle definitivamente costanti, ma non è questo il caso) converge a un equilibrio.
Probabilmente questo si può dimostrare anche in maniera elementare.

[Livius1]

Per dimostrarlo elementarmente uso l'uniforme continuità di $f(x)=2x^{2}-1$ in $[-1,1]$, è l'unico modo che ho trovato.
E nei casi in cui $f$ non è uniformemente continua e gli equilibri instabili che faccio?

[Erasmus_First]

"Rigel":

Puoi provare a usare il fatto che la successione \(x_n = \cos(2^n)\) soddisfa la relazione di ricorrenza \(x_{n+1} = 2 x_n^2-1\).

Supponiamo che esista questo limite. Esso dovrebbe allora essere 1, oppure $-1/2$, e quindi l'angolo $2^n mod (2π)$ tendere a 0 oppure tendere all'alternarsi tra $(2π)/3$ e -$(2π)/3$.
Ma questo è impossibile!
Infatti, può sì esistere un $n$ tale che $2^n mod (2π)$ differisca in modulo da 0 o da $(2π)/3$ o da $–(2π)/3$ di meno di un arbitrario prefissato "epsilon" «piccolo a piacere» (come si usa dire). Ma questo scarto – diciamolo ∆ – non può essere nullo per alcun n (dato che π è trascentente mentre $2^n$ è intero). Allora, che lo scarto da 0 oppure da (2π)/3 oppure da –(2π)/3 sia in modulo più piccolo del prefissato "epsilon" non può valere per tutti i termini successivi all'n-esimo perché se per certo n lo scarto è un certo ∆ (piccolo assai!), per il successivo $n+1$ lo scarto è doppio, per il successivo $n+2$ è quadruplo ... e continuerà a crescere fino a diventare maggiore di quel prefissato "epsilon".
Insomma: la successione cos(2^n) non può soddisfare la definizione stessa di "limite" [al tendere dell'indice all'infinito] per la quale, fissato un "epsilon" positivo (piccolo quantosi vuole) da un certo punto in poi TUTTI i termini differiranno in modulo dal presunto limite meno di "epsilon".

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