Non è mai un quadrato perfetto

[dan952]

Siano $p$ e $q$ due interi primi tra loro tali che $q>0$ e $p^(2n)>4q^n$, allora $p^(2n)-4q^n$ non è un quadrato perfetto per ogni intero $n>2$.

[dan952]

Suggerimento: considerare le soluzioni intere dell'equazione di II grado $y^2+p^ny+q^n=0$

[Thomas16]

Uso il suggerimento (a me col cavolo che era venuto in mente). Si vede quindi che se esistono tali quadrati il polinomio
$p(x)=x^2+p^nx+q^n$ deve avere tutte e due le radici razionali. Per il lemma di gauss (ma si vede in maniera anche più elementare) sappiamo che in realtà le radici sono intere. Quindi, chiamandole $a_1$ e $a_2$ si ha:

$p(x)=x^2+p^nx+q^n=(x+a_1)(x+a_2)$

ovvero si ha il sistema eguagliando i coefficienti:

$a_1a_2=q^n$
$a_1+a_2=p^n$

Innanzitutto si vede che $(q,p)=1$ implica $(a_1,a_2)=1$. Quindi sia $a_1$ che $a_2$ sono potenze $n-esime$. Ponendo $a_1=t_1^n$ e $a_2=t_2^n$ si arriva a:

$t_1^n+t_2^n=p^n$

che Fermat ci dice essere impossibile per $n>2$.

Può andare?

[dan952]

Certo