N fattoriale = (n-2) circolare

[Umby2]

Prendendo spunto da questo topic Leggi qui

mi chiedevo se fosse mai stato dimostrato che:

$n!$ = $(1*2*3*)$ + $(2*3*4)$ + ..... $((n-2) * (n-1) * n)$ + $((n-1) *n * 1)$ + $(n * 1 * 2)$

Esempio: 5! = 6 + 24 + 60 + 20 + 10

[Rigel1]

In generale è falso: basta prendere $n=6$.

[Umby2]

Mi rendo conto che ho scritto "la formula" in modo approssimativa, comunque,

per n=6, prenderai i termini a 4 a 4 (ovvero n-2)

1*2*3*4 +
2*3*4*5 +
3*4*5*6 +
4*5*6*1 +
5*6*1*2 +
6*1*2*3

pari a 720.

[gugo82]

Come detto meglio nell'altro thread, vuoi dimostrare che la somma di tutti prodotti delle [tex]$N-2$[/tex]-uple di numeri naturali [tex]$\leq N$[/tex] è uguale a [tex]$N!$[/tex].
Vediamo un po'...

Ordinando un po' le cose in una tabella, abbiamo:

[tex]$\begin{matrix}\times & \times & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & N \\
1 & \times & \times & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & N \\
1 & 2 & \times & \times & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & N \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ldots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & \times & \times & N\\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & \times & \times \\
\times & 2 & 3 & 4 & 5 & \ldots & N-3 & N-2 & N-1 & \times \end{matrix}$[/tex]

ove le [tex]$\times$[/tex] denotano i numeri soppressi; si vede immediatamente che i prodotti degli elementi delle prime [tex]$N-1$[/tex] righe si scrivono:

[tex]$p_n = \frac{N!}{n (n+1)}$[/tex] per [tex]$n=1,\ldots, N-1$[/tex],

mentre quello degli elementi dell'ultima riga è semplicemente:

[tex]$p_N =(N-1)!$[/tex];

ne viene che la somma proposta è:

[tex]$p_N +\sum_{n=1}^{N-1} p_n =(N-1)! +N! \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n(n+1)}$[/tex]
[tex]$=(N-1)! + N! \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}$[/tex]*
[tex]$=(N-1)! +N! \left( 1-\frac{1}{N}\right)$[/tex]
[tex]$=(N-1)! +(N-1)!\ (N-1)$[/tex]
[tex]$=(N-1)!\ (1+N-1)$[/tex]
[tex]$=N!$[/tex],

come si voleva. [tex]$\square$[/tex]


__________
* Abbastanza evidentemente risulta:

[tex]$\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3} +\ldots -\frac{1}{N-1} +\frac{1}{N-1} -\frac{1}{N} =1-\frac{1}{N}$[/tex],

giacché questa è la somma parziale [tex]$N-1$[/tex]-esima di una serie telescopica.

[orazioster]

Caspita, penso sia la stessa dimostrazione (che non ancora lessi); ma,
dopo che ci pensai, e la trovai semplice allora -ecco, lasciatemela scrivere!

La somma proposta è uguale ad:
$n!*A$,
ed $ A= 1/(1*n) +1/(n*(n-1)) + ... + 1/((n-(n-2))*(n-(n-1))) =$
$=1/(n) + [1/(n-1) -1/n] + ... + [1/(n-(n-1)) -1/(n-(n-2))] = 1/(n-(n-1)) = 1;$