Monete a cerchio

[portieredellalbergo]

Su un tavolo sono presenti n monete, non necessariamente con raggio uguale, le quali le vogliamo disporre tendenzialmente a cerchio, in modo tale che ogni moneta sia tangente alla precedente e alla successiva, e inoltre vogliamo che tutte le monete siano tangenti internamente ad una circonferenza incognita.

Innanzitutto ho fissato il centro della circonferenza di raggio incognito r0 > 0 in (0,0) e il centro della prima moneta in (r0-r1,0), quindi ponendo per semplicità n=3 gli altri centri ho pensato di determinarli risolvendo:

(r0 - r1 - x2)^2 + (0 - y2)^2 = (r1 + r2)^2
(x2 - x3)^2 + (y2 - y3)^2 = (r2 + r3)^2
(x3 - r0 + r1)^2 + (y3 - 0)^2 = (r3 + r1)^2
x2^2 + y2^2 = (r0 - r2)^2
x3^2 + y3^2 = (r0 - r3)^2

e ponendo r1=1, r2=2, r3=3 ho trovato 4 soluzioni, tra le quali quella che risolve il problema è:

r0=6, x2=16/5, y2=12/5, x3=9/5, y3=-12/5.

Però le belle notizie finiscono qui, perché già con n=4 non riesco a venirne a capo, men che meno per n>4. Per questo ho deciso di iscrivermi per chiedere se gentilmente qualcuno potesse spiegarmi come potrei fare.

[sellacollesella]

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[portieredellalbergo]

Ci ho messo veramente tanto per capire bene come eseguire i vari passaggi, ma alla fine sono davvero soddisfatto perché funziona a meraviglia! Grazie! Conoscevo il metodo, ma solo per una funzione in una variabile, quindi era molto più semplice. Però, come per il caso unidimensionale, mi rimane un grande interrogativo sul come "hai indovinato" il primo tentativo, in quanto se non lo si azzecca si può ottenere uno zero che non interessa. Non è che si può trovarli tutti e poi selezionare quello che interessa? O non ha senso?

[sellacollesella]

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[portieredellalbergo]

Grazie forse è riduttivo, davvero! Io ste cose non le avevo nemmeno mai sentite nominare, ma credo di aver capito il senso, ossia si costruisce una funzione che per k=0 ha gli zeri noti, quindi la si modifica un po' alla volta per poi arrivare a k=1, che coincide con la funzione che si sta trattando. Wow molto interessante! Però spero vivamente di potermela cavare sempre col metodo di Newton o simili, altrimenti è un casino di conti.