Minimo locale

[Frink1]

Problema: Sia $F:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ definita da
\[
F(x,y):= xye^x+ye^y-e^x+1
\]
e sia $C$ l'insieme degli zeri di $F$:
\[
C:=\left\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : F(x,y)=0\right\}
\]
Sia $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione di classe $C^2$ in un intorno di $(0,0)$ e tale che il gradiente $\nabla f$ e la matrice Hessiana $H$ di $f$ in $(0,0)$ sono dati da
\[
\nabla f(0,0)= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ H_f(0,0)= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
\]
Stabilire se $(0,0)$ è un punto di minimo locale per $f$ sull'insieme $C$.

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In spoiler la mia soluzione:

Innanzitutto verifico la condizione di Lagrange: $\nabla f = \lambda \nabla F$, e in effetti $(-2,2)=\lambda (-1,1)$. Dovrei ora stabilire se è effettivamente un minimo. Per questo scrivo il polinomio di Taylor di $f$ in $(0,0)$.
\[
f(h_1,h_2)=f(0,0)+ \left \langle \nabla f(0,0) \cdot (h_1,h_2) \right \rangle + \frac{1}{2} \left \langle (H_f(0,0)(h_1,h_2)) \cdot (x_1,h_2) \right \rangle + o(||h||^2) \Rightarrow \\ \Rightarrow f(h_1,h_2)=f(0,0) -2h_1+2h_2+h_1^2+h_1h_2 + o(||h||^2)
\]
La funzione $F$ in $(0,0)$ definisce una funzione implicita $y(x)$ per Dini:
\[
\frac{dy}{dx}=-\frac{-1}{1}=1
\]
Qui viene il passaggio che mi crea qualche dubbio: se localmente la derivata si comporta come $1$, la funzione implicita localmente si comporterà come $y(x)=x$. Allora l'incremento che ho scelto sarà $(h_1,h_2)$ tale che $h_1=h_2$. Taylor allora si comporta come:
\[
f(h_1,h_2)=f(0,0)+2h_1^2+o(||h||^2)
\]
Siccome $2h_1^2$ è positivo, $f(h_1,h_2)$ è sempre maggiore di $f(0,0)$ per permanenza del segno (per trascurare l'o-piccolo).

Ho più di qualche dubbio sulla mia soluzione, e mi piacerebbe vedere soluzioni alternative (o suggerimenti).
Buon divertimento!

Fonte: Concorso ammissione SISSA 2010

[Rigel1]

Hai già visto che il vincolo può essere visto localmente come il grafico di una funzione \(y=\varphi(x)\) con \(\varphi'(0) = -1\).
Già che ci sei calcolati anche \(\varphi''(0)\).
Per la funzione composta \(x\mapsto f(x,\varphi(x))\) hai che
\[
\frac{d}{dx} f(x,\varphi(x)) = f_x + f_y \varphi',
\qquad
\frac{d^2}{dx^2} f(x,\varphi(x)) = f_{xx} + 2f_{xy} \varphi' + f_{yy} \varphi''.
\]
Hai già calcolato la prima derivata in \(x=0\), che è nulla.
Calcola anche la seconda in \(x=0\) e spera che sia diversa da \(0\).