Metodo della fase stazionaria
Salve a tutti.
In Teoria dei Campi mi sono imbattuto in un integrale del tipo:
$I=int_0^infty dp p e^(ipx-itsqrt(p^2+m^2))$
(Tanto per contestualizzare, si tratta del calcolo dell'ampiezza di transizione di una particella relativistica libera).
Il mio libro di testo (Peskin, Introduction to Quantum Field Theory) calcola l'andamento dell'integrale nel seguente modo.
Innanzitutto si considera la fase $phi = px - tsqrt(p^2+m^2)$, la cui derivata prima è $phi'(p)=x+tp/sqrt(p^2+m^2)$.
Tale fase è stazionaria nel punto $p_c = imx/sqrt(x^2-t^2)$; in tale punto critico si ha $phi(p_c)=imsqrt(x^2-t^2)$.
Sviluppando la fase attorno al punto critico al secondo ordine, e ponendo $p=p_c$ nell'integrando, si ha:
$I = int_0^infty dp imx/sqrt(x^2-t^2) e^(i(phi(p_c)+1/2 (p-p_c)^2 phi''(p_c)))$
Quindi $I = imx/sqrt(x^2-t^2) e^(-msqrt(x^2-t^2)) int_0^infty dp e^(i/2 (p-p_c)^2 phi''(p_c))$
Siccome l'integrale è un numero finito, a meno di una funzione razionale di $x$ e $t$ l'integrale va come $e^(-msqrt(x^2-t^2))$
Il mio professore ha commentato che Peskin ha svolto l'integrale sotto l'effetto di una bottiglia di vino (testuali parole...), in quanto il procedimento è sbagliato.
Premesso che non sono un esperto di metodi matematici, vi chiedo: cosa c'è di sbagliato? Quale sarebbe invece il procedimento corretto? Grazie!
In Teoria dei Campi mi sono imbattuto in un integrale del tipo:
$I=int_0^infty dp p e^(ipx-itsqrt(p^2+m^2))$
(Tanto per contestualizzare, si tratta del calcolo dell'ampiezza di transizione di una particella relativistica libera).
Il mio libro di testo (Peskin, Introduction to Quantum Field Theory) calcola l'andamento dell'integrale nel seguente modo.
Innanzitutto si considera la fase $phi = px - tsqrt(p^2+m^2)$, la cui derivata prima è $phi'(p)=x+tp/sqrt(p^2+m^2)$.
Tale fase è stazionaria nel punto $p_c = imx/sqrt(x^2-t^2)$; in tale punto critico si ha $phi(p_c)=imsqrt(x^2-t^2)$.
Sviluppando la fase attorno al punto critico al secondo ordine, e ponendo $p=p_c$ nell'integrando, si ha:
$I = int_0^infty dp imx/sqrt(x^2-t^2) e^(i(phi(p_c)+1/2 (p-p_c)^2 phi''(p_c)))$
Quindi $I = imx/sqrt(x^2-t^2) e^(-msqrt(x^2-t^2)) int_0^infty dp e^(i/2 (p-p_c)^2 phi''(p_c))$
Siccome l'integrale è un numero finito, a meno di una funzione razionale di $x$ e $t$ l'integrale va come $e^(-msqrt(x^2-t^2))$
Il mio professore ha commentato che Peskin ha svolto l'integrale sotto l'effetto di una bottiglia di vino (testuali parole...), in quanto il procedimento è sbagliato.
Premesso che non sono un esperto di metodi matematici, vi chiedo: cosa c'è di sbagliato? Quale sarebbe invece il procedimento corretto? Grazie!
Risposte
caro vinx , la matematica della teoria quantistica dei campi è difficile pure per i matematici 
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Pensare un po' di più; mi sembra più adatta come stanza.[/xdom]
up
Ciao Vinx,
non entro nei dettagli del calcolo, che bisognerebbe analizzare con un attimo di calma.
Comunque la metodologia usata per calcolare questo tipo di integerali si chiama (almeno è il nome più frequente che io conosca in letteratura): "saddle point method" (metodo del punto di sella).
Ti lascio un link che ho trovato che penso possa fare al caso tuo: http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Clas ... saddle.pdf
Andrea
P.S. Alcune i volti i fisici usano "libertà poetiche" in matematica...ma infine cosa non si farebbe per un integrale!
non entro nei dettagli del calcolo, che bisognerebbe analizzare con un attimo di calma.
Comunque la metodologia usata per calcolare questo tipo di integerali si chiama (almeno è il nome più frequente che io conosca in letteratura): "saddle point method" (metodo del punto di sella).
Ti lascio un link che ho trovato che penso possa fare al caso tuo: http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Clas ... saddle.pdf
Andrea
P.S. Alcune i volti i fisici usano "libertà poetiche" in matematica...ma infine cosa non si farebbe per un integrale!
"Andrea2976":
Ciao Vinx,
non entro nei dettagli del calcolo, che bisognerebbe analizzare con un attimo di calma.
Comunque la metodologia usata per calcolare questo tipo di integerali si chiama (almeno è il nome più frequente che io conosca in letteratura): "saddle point method" (metodo del punto di sella).
Ti lascio un link che ho trovato che penso possa fare al caso tuo: http://bolvan.ph.utexas.edu/~vadim/Clas ... saddle.pdf
Andrea
P.S. Alcune i volti i fisici usano "libertà poetiche" in matematica...ma infine cosa non si farebbe per un integrale!
Ciao,
grazie mille per il link. Probabilmente il buon Peskin si è preso qualche libertà di troppo, comunque controllerò...
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