Media aritmetico-geometrica

[NightKnight1]

Siano $x_0,y_0 > 0$. Allora definisco due successioni $\{ x_n \} , \{ y_n \}$ nel modo seguente:
$x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + y_n) \ , \ y_{n+1}= \sqrt{x_n y_n}$.
Per la simmetria fra $x_0$ e $y_0$ posso supporre che $y_0 \leq x_0$.
Per la disuguaglianza tra media geometrica e media aritmetica si mostra per induzione che $\forall n \in \mathbb{N}, \ 0 < y_0 \leq y_n \leq y_{n+1} \leq x_{n+1} \leq x_n \leq x_0$. Quindi le due successioni $\{ x_n \} , \{ y_n \}$ sono monotone e limitate, e allora convergono; siano $\bar{x},\bar{y}$ rispettivamente i limiti; ovviamente vale $ 0 < \bar{y} \leq \bar{x}$. D'altra parte passando al limite nella prima equazione che definisce la successione $\{ x_n \}$ si ha:
$\bar{x} = \frac{1}{2} ( \bar{x} + \bar{y} )$ da cui $\bar{x} = \bar{y}$.
Quindi le due successioni ammettono lo stesso limite.

Definisco questo comune limite la media aritmetico-geometrica dei due numeri $x_0,y_0$.

Considero l'aperto $\Omega = \{ (x,y) \in RR^2 \ | \ x,y>0 \} = \ ]0,+\infty[ \ \times \ ]0,+\infty[ \ $ del piano.

E definisco l'applicazione $f : \Omega \rightarrow \ ]0,+\infty[$ nel seguente modo:

$\forall (x,y) \in \Omega, \ f(x,y):= \text{media aritmetico-geometrica tra x e y} $.



Ovviamente valgono:

1) $\forall (x,y) \in \Omega, \ \min \{x,y \} \leq \sqrt{x y} \leq f(x,y)=f(y,x) \leq \frac{x+y}{2} \leq \max \{x,y \}$.

2) $\forall x \in \ ]0,+\infty[, \ f(x,x)=x$.

3) $\forall (x,y) \in \Omega, \forall \lambda > 0, \ f(\lambda x, \lambda y)= \lambda f(x,y)$. cioe' $f$ e' 1-omogenea.

4) Per il teorema di Eulero: per ogni $\omega \in \Omega$ la funzione e' derivabile nel punto $\omega$ nella direzione $v=\frac{\omega}{||\omega||}$ e vale $\frac{\partial f}{\partial v} (\omega) = \frac{f(\omega)}{||\omega||}$.
Cioe' $\forall (x,y) \in \Omega,$ sia $v=\frac{(x,y)}{||(x,y)||}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})$, allora $f$ e' derivabile parzialmente nel punto $(x,y) \in \Omega$ lungo la direzione $v$ e vale $\frac{\partial f}{\partial v}=\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$; per la disuguaglianza AM-QM si ha $\frac{x+y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leq \sqrt{2}$ e allora $0 < \frac{\partial f}{\partial v} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.

5) Da 4) segue che $\forall x \in \ ]0,+\infty[$ la funzione $f$ e' derivabile nel punto $(x,x) \in \Omega$ lungo la direzione $v= ( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$ e vale $\frac{\partial f}{\partial v} (x,x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.


Vorrei studiare la regolarita' della funzione $f$: $f$ e' continua separatamente nelle due variabili? $f$ e' continua? $f \in C^1(\Omega, \mathbb{R})$?

Sia $\psi : \Omega \rightarrow RR^2 \ , \ (x,y) \mapsto ( \frac{x+y}{2} , \sqrt{xy})$. Ovviamente $\psi ( \Omega ) \subseteq \Omega$ e $\psi \in C^{\infty} ( \Omega, \mathbb{R}^2 )$.

Per ogni $n \in NN$ sia $\varphi_n = \psi \circ ... \circ \psi = \psi^n : \Omega \rightarrow RR^2$.

Siano $p_1,p_2 : RR^2 \rightarrow RR$ le proiezioni.

Allora per ogni $n \in NN$ definisco $g_n = p_1 \circ \varphi_n : \Omega \rightarrow RR \ , \ (x,y) \mapsto (\varphi_n(x,y))_1$ e $h_n = p_2 \circ \varphi_n : \Omega \rightarrow RR \ , \ (x,y) \mapsto (\varphi_n(x,y))_2$.

Sia $\varphi : \Omega \rightarrow RR^2 \ , \ (x,y) \mapsto (f(x,y),f(x,y))$.

6) $ \forall n \in NN, \ \varphi_n \in C^{\infty}(\Omega,RR^2), \ g_n,h_n \in C^{\infty}(\Omega, RR)$. Per quanto dimostrato precedentemente si ha $\forall (x_0,y_0) \in \Omega, \ \forall n \in NN, \ (x_n,y_n)= \varphi_n (x_0,y_0)= (g_n(x_0,y_0),h_n(x_0,y_0))$. E vale $\forall n,m \in NN^{+}, \ n \leq m \ \Rightarrow \ \forall (x,y) \in \Omega, \ h_n(x,y) \leq h_m(x,y) \leq f(x,y) \leq g_m(x,y) \leq g_n(x,y)$.

7) $\forall (x,y) \in \Omega, \lim_{n \rightarrow + \infty} \varphi_n (x,y) = \varphi(x,y)$, cioe' la funzione $\varphi$ e' il limite puntuale della successione di funzioni $\{ \varphi_n \}$. E $f$ e' il limite puntuale delle successioni di funzioni $\{ g_n \} , \{ h_n \}$.

Qualcuno sa dire se la funzione $f$ e' continua, differenziabile o di classe $C^1$ e se le successioni $\{ g_n \} \ , \ \{h_n\}$ convergono uniformemente a $f$???

[gugo82]

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[jack90_3]

Sono interessato alla dimostrazione per induzione che

∀n∈ℕ, 0.
Qualcuno riesce a spiegarmela? grazie.

[gugo82]

Ma in verità l'induzione non serve nemmeno a granché... Serve solo a stabilire che le due successioni sono positive.

Infatti, ciò è vero per \(n=0\) ed \(n=1\) per ipotesi; questa è una buona base per l'induzione.
D'altra parte, supponendo che \(x_n,y_n>0\), allora \(y_{n+1},x_{n+1}>0\) necessariamente; quindi rimane provato anche il passo induttivo.

Per il resto, basta molto semplicemente ragionare come segue:

Come si è detto, una volta fissati \(x_0=x>0\) ed \(y_0=y>0\) si definiscono per ricorrenza le due successioni accoppiate:
\[
\begin{cases} x_{n+1} = \frac{1}{2}\ (x_n+y_n) &,\ y_{n+1}=\sqrt{x_n\ y_n}\\
x_0=x &,\ y_0=y
\end{cases}
\]
cosicché, ad esempio, si ha:
\[
\begin{split}
x_1=\frac{1}{2}\ (x+y) &,\ y_1=\sqrt{x\ y}\\
x_2= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\ (x+y) + \sqrt{x\ y}\right) &,\ y_2= \sqrt{\frac{1}{2}\ (x+y)\ \sqrt{x\ y}}\\
\vdots &\ \vdots
\end{split}
\]
Ovviamente, senza ledere la generalità si può sempre supporre che \(y\leq x\) (infatti, se così non fosse, basterebbe scambiare i ruoli delle due variabili).
Per dimostrare che valgono le relazioni:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\ y\leq y_n\leq y_{n+1}\leq x_{n+1}\leq x_n \leq x
\]
basta provare che valgono separatamente le proprietà:
\[
\underbrace{y\leq y_n}_{\color{maroon}{\text{I}}},\ \underbrace{y_n\leq y_{n+1}}_{\color{maroon}{\text{II}}} ,\ \underbrace{y_{n+1}\leq x_{n+1}}_{\color{maroon}{\text{III}}},\ \underbrace{x_{n+1}\leq x_n}_{\color{maroon}{\text{IV}}},\ \underbrace{x_n\leq x}_{\color{maroon}{\text{V}}}\; .
\]
La III è banalmente vera, poiché non è nient'altro che la classica disuguaglianza tra media aritmetica e geometrica dei numeri positivi \(x_n,y_n\); quindi dobbiamo provare I, II, IV e V.

La III importa immediatamente che valgono le II e IV, cioè che le successioni di termine generale \(x_n\) ed \(y_n\) sono monotone, la prima decrescente e la seconda crescente.
Infatti dalla III discende che \(y_n\leq x_n\), dunque:
\[
y_n = \min \{x_n,y_n\} \leq \sqrt{x_n\ y_n} =y_{n+1}\qquad \text{e}\qquad x_{n+1}= \frac{1}{2}\ (x_n+y_n)\leq \max \{ x_n,y_n\}=x_n
\]
per ogni \(n\).

Ma d'altra parte, dalle II e IV seguono immediatamente le limitazioni I e V, perché \(y=y_0\) ed \(x_0=x\).