Matrici a determinante dispari
Dato [tex]n[/tex] intero positivo, sia [tex]P_n[/tex] la probabilità che una matrice [tex]n \times n[/tex] a coefficienti interi abbia determinante dispari.
Calcolare [tex]\lim_{n \to \infty} P_n[/tex].
PS: Riesco ad approssimare arbitrariamente bene il valore di questo limite ma non sono sicuro che ne esista (o che se ne possa calcolare) un'espressione esplicita.
Calcolare [tex]\lim_{n \to \infty} P_n[/tex].
PS: Riesco ad approssimare arbitrariamente bene il valore di questo limite ma non sono sicuro che ne esista (o che se ne possa calcolare) un'espressione esplicita.
Risposte
@Martino.
Visto che a me quella successione pare infinitesima,
ad un primo istintivo approccio legato alla considerazione che già con matrice d'ordine "basso" basta un elemento pari a guastare un evento favorevole costruito con fatica,
ma sopratutto in virtù del fatto che la fonte sei tu,
ti chiedo se non sia troppo "ingenuo" provare a lavorare sulla famiglia delle matrici quadrate d'ordine $n inNN$ ad elementi in $ZZ_2$ e "determinante" non nullo
(pertanto unitario..),
che ad occhio e croce,
con l'ovvia estensione ad esso dell'usuale prodotto matriciale,
mi pare un gruppo:
a quel punto mi metterei in cerca del dovuto formalismo necessario a miscelare bene l'approccio combinatorio-probabilistico e quello algebrico che intravedo, chiaro..
Ci fai sapere?
Saluti dal web.
Edit:
Mi spiego meglio:
val la pena di cercare qualche artificio algebrico per enumerare,
fissato a piacere $n in NN$, quante siano le matrici d'ordine $n$ ad elementi in $ZZ_2$ con "determinante" $[1]$,
delle $2^(n^2)$ a priori fissabili?
Perché,se riesco,a quel punto non mi par difficile verificare che l'evento attenzionato nel tuo quesito sia "contenuto" in quello "Fisso una matrice d'ordine $n$ ad elementi in $ZZ_2$ con determinante unitario",
e dunque con probabilità non maggiore di quest'ultimo:
poi chiamerei i carabinieri ed avrei risolto..
Visto che a me quella successione pare infinitesima,
ad un primo istintivo approccio legato alla considerazione che già con matrice d'ordine "basso" basta un elemento pari a guastare un evento favorevole costruito con fatica,
ma sopratutto in virtù del fatto che la fonte sei tu,
ti chiedo se non sia troppo "ingenuo" provare a lavorare sulla famiglia delle matrici quadrate d'ordine $n inNN$ ad elementi in $ZZ_2$ e "determinante" non nullo
(pertanto unitario..),
che ad occhio e croce,
con l'ovvia estensione ad esso dell'usuale prodotto matriciale,
mi pare un gruppo:
a quel punto mi metterei in cerca del dovuto formalismo necessario a miscelare bene l'approccio combinatorio-probabilistico e quello algebrico che intravedo, chiaro..
Ci fai sapere?
Saluti dal web.
Edit:
Mi spiego meglio:
val la pena di cercare qualche artificio algebrico per enumerare,
fissato a piacere $n in NN$, quante siano le matrici d'ordine $n$ ad elementi in $ZZ_2$ con "determinante" $[1]$,
delle $2^(n^2)$ a priori fissabili?
Perché,se riesco,a quel punto non mi par difficile verificare che l'evento attenzionato nel tuo quesito sia "contenuto" in quello "Fisso una matrice d'ordine $n$ ad elementi in $ZZ_2$ con determinante unitario",
e dunque con probabilità non maggiore di quest'ultimo:
poi chiamerei i carabinieri ed avrei risolto..
"theras":Infatti è lo stesso
non mi par difficile verificare che l'evento attenzionato nel tuo quesito sia "contenuto" in quello "Fisso una matrice d'ordine $n$ ad elementi in $ZZ_2$ con determinante unitario"
Non sono sicuro che il problema sia ben posto.
Dovresti innanzi tutto assegnare una distribuzione di probabilità su \(\mathbb{Z}\) (quella con cui effettuare la scelta degli elementi), o no?
Altra cosa è se richiedi in partenza che i coefficienti stiano in \(\mathbb{Z}_2\).
Dovresti innanzi tutto assegnare una distribuzione di probabilità su \(\mathbb{Z}\) (quella con cui effettuare la scelta degli elementi), o no?
Altra cosa è se richiedi in partenza che i coefficienti stiano in \(\mathbb{Z}_2\).
Per come avevo interpretato il quesito iniziale non proprio:
io volevo dire che,
ad una matrice quadrata del secondo ordine ad elementi in $ZZ$ e determinante dispari,
può certo associarsi,
con un'applicazione ovvia e non iniettiva[\u],
una matrice quadrata del secondo ordine ad elementi in $ZZ_2$ e "determinante" che mi sembra $[1]$.
Quest'ultima matrice non può dunque esser uguale alla prima,
se non a meno d'isomorfismi che non vedo né mi paion possibili
(non foss'altro perché coinvolgerebbero un gruppo finito ed un insieme infinito, che tra l'altro nn capisco come render gruppo..),
anche se mi par vero che,
qualora $A=(a_ij) inZZ_n$ sia t.c. $detA$ è dispari,
allora $[A]=([a_ij)] in(ZZ_2)_n$ ha "determinante" $[1]$
(e la corrispondenza inversa ovviamente non è univoca..);
comunque,anche se non ho interpretato bene,
quanto dici mi fà pensare a maggior ragione che l'idea di cercar qualche strategia enumerativa per capire se quel numeratore è esprimibile con operazioni elementari
(sul denominatore siam d'accordo che è $2^(n^2)$?), non mi par da scartare:
tentar non nuoce,
ed i mezzi per quella ricerca non ti mancano di certo!
Saluti dal web.
Edit:
ho letto solo ora il post di Rigel..
io volevo dire che,
ad una matrice quadrata del secondo ordine ad elementi in $ZZ$ e determinante dispari,
può certo associarsi,
con un'applicazione ovvia e non iniettiva[\u],
una matrice quadrata del secondo ordine ad elementi in $ZZ_2$ e "determinante" che mi sembra $[1]$.
Quest'ultima matrice non può dunque esser uguale alla prima,
se non a meno d'isomorfismi che non vedo né mi paion possibili
(non foss'altro perché coinvolgerebbero un gruppo finito ed un insieme infinito, che tra l'altro nn capisco come render gruppo..),
anche se mi par vero che,
qualora $A=(a_ij) inZZ_n$ sia t.c. $detA$ è dispari,
allora $[A]=([a_ij)] in(ZZ_2)_n$ ha "determinante" $[1]$
(e la corrispondenza inversa ovviamente non è univoca..);
comunque,anche se non ho interpretato bene,
quanto dici mi fà pensare a maggior ragione che l'idea di cercar qualche strategia enumerativa per capire se quel numeratore è esprimibile con operazioni elementari
(sul denominatore siam d'accordo che è $2^(n^2)$?), non mi par da scartare:
tentar non nuoce,
ed i mezzi per quella ricerca non ti mancano di certo!
Saluti dal web.
Edit:
ho letto solo ora il post di Rigel..
Hai ragione Rigel,
non mi sono posto problemi di "buona definizione" restando un po' nello spirito informale che per esempio si trova qui. Se vuoi, una cosa che richiedo è trovare la soluzione introducendo la distribuzione di probabilità "giusta"
non mi sono posto problemi di "buona definizione" restando un po' nello spirito informale che per esempio si trova qui. Se vuoi, una cosa che richiedo è trovare la soluzione introducendo la distribuzione di probabilità "giusta"
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