Maratona problemi algebra lineare

[Dorian1]

Dato il successo che ha ottenuto recentemente la maratona sui problemi di 'Teoria dei gruppi', ho pensato che fosse il caso di aprire un topic simile, nel quale esporre problemi di algebra lineare.
Valgono le stesse regole, quindi: chi risolve per primo esibisce un nuovo problema, oppure cede la mano... Nella speranza che qualcuno voglia partecipare, posto il primo problema... Pronti, via!

Si consideri lo spazio vettoriale $M_(n,m)(K)$ (matrici con $n$ righe ed $m$ colonne a coefficienti in un campo $K$) (*) sul quale definiamo la seguente relazione (d'equivalenza):

$A sim B <=> EE P in GL_n(K), EE Q in GL_m(K): B=PAQ$

(1) Dare una condizione necessaria e sufficiente affinchè, date due matrici $A$,$B in M_(n,m)(K)$, sia $A sim B$;
(2) Dire quanti elementi ha l'insieme $M_(n,m)(K)$ / $sim$;

Buon lavoro!

EDIT: (*) Sarebbe più corretto, date le richieste del problema, vedere $M_(n,m)(K)$ come $K$-algebra con le operazioni di somma, prodotto per scalare, prodotto di matrici.

[NightKnight1]

Guarda che la cosa che intendi tu è quella che ho scritto io:
per me $A in M_n(R)$ e quindi $a_(i,sigma(i)) in R$. Volevo solo sapere come si definisce il determinante di una matrice con entrate in un anello e non in un campo.

Ovviamente la tua definizione è un caso particolare di quello che ho scritto io: basta prendere $R=M_m(K)$

Ad ogni modo ci siamo capiti!

[Dorian1]

Perdonami. Il disguido è nato dal fatto che hai chiamato $A$ la tua matrice, come quella definita da me nell'esercizio...