\(L^p \) non è Hilbert per \(p \ne 2\)

[Sk_Anonymous]

Definizione. Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale \(H\) equipaggiato con un prodotto scalare tale che \(H\) è completo per la norma \( | \cdot | \) indotta da tale prodotto scalare.

Esercizio. Sia \(p \in [1, \infty]\) ma \(p \ne 2\); mostrare che \(L^p ( \mathbb{R})\) non è uno spazio di Hilbert.

Hint:

Proposizione (legge del parallelogramma). Sia \(H\) uno spazio di Hilbert con norma \(| \cdot |\); allora vale \[ |f+g|^2 + |f-g|^2 = 2( |f|^2 + |g|^2)\]per ogni \(f,g \in H\).

Prendere due funzioni \( \in L^p (\mathbb{R} )\) a supporti disgiunti tali per cui non valga la legge del parallelogramma.

[dan952]

$f={(1\ (0,1]),(0\ RR\\(0,1]):}$
$g={(1\ [-1,0)),(0\ RR\\[-1,0)):}$
Infatti
$|f+g|^2+|f-g|^2=(\int_{RR}|f+g|^pdx)^{2/p}+(\int_{RR}|f-g|^pdx)^{2/p}=(\int_{0}^{1}|1|^pdx)^{2/p}+(\int_{-1}^{0}|1|^pdx)^{2/p}(\int_{0}^{1}|1|^pdx)^{2/p}+(\int_{-1}^{0}|-1|^pdx)^{2/p}=2 \cdot 2^{2/p}$
Mentre
$2(|f|^2+|g|^2)=2(1^{2/p}+1^{2/p})=4$
Aggiunta: l'uguaglianza sussiste ovviamente per solo per $p=2$.

[Vincent46]

Utilizziamo l'hint. Detta $\chi_A$ la funzione caratteristica dell'insieme $A$, definiamo
\[ f= \chi_{(-1,0)} \ \ \ \text{ e } \ \ \ g= \chi_{(0,1)} \ . \]

Per ogni $p \in [1,2) \cup (2, +\infty)$, si ha:
\[ |f+g|^2 = |f-g|^2 = 4^{\frac{1}{p}} \ ; \]
\[ |f|^2 = |g|^2 = 1 \ . \]
Allora, se per assurdo la regola del parallelogramma valesse per queste due funzioni, dovremmo avere
\[ 4^{\frac1p} = 2 \ , \]
chiaramente valido solo per $p=2$. La stessa scelta di $f, g$ funziona anche nel caso $p = +\infty$, per cui la legge del parallelogramma fornisce l'assurdo
\[ 1 = 2 \ , \]
che si poteva anche dedurre dalla formula scritta qui sopra prendendo il limite per $p$ che tende a $+\infty$.

[dan952]

Non mi scrive "altrimenti"...

[Sk_Anonymous]

@dan95: non riesco a leggere la tua soluzione...

@Vincent46: sì.

[dan952]

@Delirium
Perché?

[Sk_Anonymous]

Questo è quello che vedo io: