Lo "scheletro di Cantor"

[Livius1]

Propongo un quesito di cui conosco la risposta (almeno credo).

Siano ${a_{n}}_n$ una successione in $\mathbb{R}$ con $a_{n}>0$, $a_{n+1}>a_{n}$ per ogni $n\in \mathbb{N}$ e $a_{n}\rightarrow a\in\mathbb{R}$, e $\sum_{n\ge 0}c_{n}=c\in\mathbb{R}$, con $c_{n}>0$, $c_{n+1} Sia $\Lambda:=(\cup_{i\ge 0}{a_{n}+c_{i}}_{n})\cup{a+c_{i}}_{i}\cup{a_{n}}_n\cup{a}$ (qui, ad esempio, ${a_{n}}_n={a_{0},a_{1},\ldots,a_m,\ldots}$).
Domande:
(1) $\Lambda$ può essere chiuso in $\mathbb{R}$?
(2) Calcolare la cardinalità $|$ $\bar{\Lambda}$ $|$.

[j18eos]

Qualche considerazione sulla domanda (1)...

Un solo nome: Cauchy!

L'insieme \(\displaystyle\{a+c_k\}_{k\in\mathbb{N}}\cup\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cup\{a\}\) è chiuso, in quanto:
[list=1]
[*:lqj2rwyc]\(\displaystyle\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\cup\{a\}\) è chiuso di suo;[/*:m:lqj2rwyc]
[*:lqj2rwyc]\(\displaystyle\{a+c_k\}_{k\in\mathbb{N}}\cup\{a\}\) è chiuso, e lo si dimostra alla stessa maniera dell'insieme precedente, ricordando che dev'essere:
\[
\lim_kc_k=0,
\]
altrimenti non si ha la convergenza della serie di termine generale \(\displaystyle c_k\);[/*:m:lqj2rwyc][/list:o:lqj2rwyc]
e l'unione finita di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

Quindi non resta che "giocare" con le successioni convergenti il cui sostegno sia in \(\displaystyle\bigcup_{k,n\in\mathbb{N}}\{a_n+c_k\}\), dimostrare (mediante la condizione di Cauchy) che queste convergono in \(\displaystyle\Lambda\); sicché \(\displaystyle\Lambda\) è un insieme chiuso per successioni, ovvero chiuso.

Dato che ho la febbre, non mi avventuro nel fare i calcoli. : )

EDIT: sto iniziando a supporre che i limiti non siano in \(\displaystyle\Lambda\) per ogni scelta di \(\displaystyle\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) e \(\displaystyle\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}\).