LLN^{-1}: Inverso dei grandi numeri

[fu^2]

Un esercizio per l'estate da cui viene fuori come l'ipotesi di essere integrabile risulti in qualche senso "fondamentale" per la legge dei grandi numeri...

"Sia $(\Omega,\mathcal{F},P)$ uno spazio di probabilità e sia $X_n$ una successione IID definita su tale spazio con $E(|X_n|)=\infty$ per ogni $n$. Provare che

$\sum_n P(|X_n|>kn)=\infty$ per $k\in\mathbb{N}$ e $\text{limsup}\frac{|X_n|}{n}=\infty$, qc . Dedurne che, posto $S_n=X_1+...+X_n$ allora $\text{limsup}\frac{|S_n|}{n}=\infty$, qc"

[Andrea2976]

Provo velocemente, queste cose mi divertono sempre...

$\sum_n P(|X_n|\ge kn)=\sum_n P(|X|\ge kn)$ dato che le $X_n$ sono i.i.d.

Ora dato che $E(|X_n|)=E(|X_1|)=\int |x_1| d\mu(x_1)\leq \sum_{n\ge 0} \mu(|x_1|>n)$ con la serie che diverge (serie positiva minorata da $+\infty$) allora anche le serie del tipo $ \sum_{n\ge 0}\mu(|x_1|>kn)$ divergeranno (serie estratte da una serie divergente), con $k\in \N$.

Dato che $\sum_n P(|X|\ge kn)=\sum_n P(\frac{|X|}{n}\ge k)=+\infty$ per Borel Cantelli ottieni il primo asserto.

L'ultimo mi sembra che discenda facilmente con una semplice disuguaglianza.

[totissimus]

Non mi è chiaro un punto

"Andrea2976":
Ora dato che\( E(|Xn|)=E(|X1|)=∫|x_1|dμ(x_1)≤∑_{n≥0}μ(|x_1|>n) \)con la serie che diverge (serie positiva minorata da +∞) allora anche le serie del tipo \(∑_{n≥0}μ(|x_1|>kn)\) divergeranno (serie estratte da una serie divergente), con k∈N.

Mi pare di capire (ma probabilmente sono io che non ho capito ) che se \( \sum a_n\) diverge anche \( \sum a_{kn}\) diverge, questa affermazione è manifestamente falsa, basta considerare la serie di termine generale
\(
a_{n=}\begin{cases}
\frac{1}{n} & n \mbox{ }dispari\\
\frac{1}{n^{2}} & n \mbox{ }pari
\end{cases}
\)

la serie \( \sum a_n\) diverge ma \( \sum a_{2n}\) converge.

[Thomas16]

parzialmente OT: forse è scontato visto che hai usato la notazione probabilistica con la P, ma aggiungerei nel testo che P è una probabilità o cmq una misura finita.

[fu^2]

Si, l'avevo dato per scontato che $P$ fosse una misura di probabilità, come si dice in questi casi: notazioni self explaining hai comunque fatto bene a sottolineare la cosa.

[Andrea2976]

Ciao Tot,

ovviamente la tua osservazione è giusta, mi hai letto nella mente perché ieri spegnendo il pc mi son detto "ma che ... hai scritto?" (mi era venuto subito in mente il controesempio con $\frac{1}{n}$ e $\frac{1}{n^2}$).

Provo a riformulare la cosa e a ripostarla in giornata se riesco.

Mi sa che tot mi ha fatto ritornare il loop mentale cui mi ero incartato ieri prima di scrivere...
$P(|X|\ge k n)=P(\frac{|X|}{k}\ge n)$ ora sommando su $n$ ho che $\sum_n P(\frac{|X|}{k}\ge n)\ge E(\frac{|X|}{k})$, ma dato che $E(|X|)$ diverge allora anche $E(\frac{|X|}{k})$ divergerà da cui $\sum_n P(|X|\ge kn)=+\infty$...oppure sto svalvolando?

[Thomas16]

"Andrea2976":$\sum_n P(\frac{|X|}{k}\ge n)\ge E(\frac{|X|}{k})$

Se n contiene lo 0, credo che questa disuguaglianza sia giusta.

Però dovresti perdere un po' di tempo a scriverne una dimostrazione, così sinceramente non si capisce da dove salta fuori(almeno io non lo capisco).

[Andrea2976]

La dimostrazione che mi chiedi thomas è abbastanza standard, la trovi in quasi tutti i libri di probabilità, ad esempio:
Achim Klenke, Probability Theory: A Comprehensive Course (teorema 4.26)

Una molto semplice ma molto carina è questa, dato una v.a. $X$ positiva, per semplicità la penso a valori in $N$ ma vale anche più in generale hai che:

$E(X)=\sum_{n\ge 0} n p(n)=\sum_{n\ge 0} \sum_{m=0}^n p(n)=\sum_{m \ge 0} \sum_{n=m}^{+\infty} p(n)=\sum_{m \ge 0}P(X \ge m)$

[Thomas16]

eheh... ok... non avevo capito dessi per scontata quell'identità... pensavo che dimostrare quella o qualcosa di simile fosse parte dell'esercizio!... anche io la ricordavo è molto carina ...

[fu^2]

"Andrea2976":.oppure sto svalvolando?

ma così a prima lettura non direi proprio bene!

[DajeForte]

Nessuno si vuole cimentare? Può essere di aiuto calcolare $P("sup"_{n >=N} |X_n|/n

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[fu^2]

Dato che è passato un po' di tempo, metto la soluzione (sperando che sia corretta )

Consideriamo $X_n>=0$ per semplicità (iid). Per vedere che il $\text{limsup} S_n/n=+\infty$ uno può considerare la successione $Y_n^M:=X_n\wedge M$, con $M$ fissato.

A questo punto $Y_n^M$ è una successione iid in $L^2$ (in particolare $E(Y_n^M)<=M$ e $E((Y_n^M)^2)<=M^2$), dunque per la legge dei grandi numeri si ha che

$\text{lim}_{n\to +\infty}1/n \sum_{i=1}^n Y_n^M=E(Y_1^M)\geq E(X_1 1_{(X_1
Dunque, dal momento che per $M\to +\infty$ si ha che $E(X_1 1_{(X_1
$\text{limsup}_nX_n/n \geq \text{limsup}_nY_n^M/n\geq m(M)$ e quest'ultima costante può essere resa arbitrariamente grande.

Penso che con questo conto uno può vedere che è proprio il limite a non essere finito e non solo il limsup... almeno in questo caso un attimo più semplice in cui ho considerato le v.a. positive...

rilancio (per queste variabili aleatorie esiste comunque una sorta di legge dei grandi numeri...): Supponiamo di avere una successione $X_n$ iid di v.a. positive tali che $P(X_1>t)\sim c/t^{\alpha}$, con $\alpha \in (0,1)$.

Allora $w-\lim S_n/n^{1/\alpha}=Y$ dove $S_n=X_1+...+X_n$ e $w-\lim$ indica il limite in distribuzione (scusate la notazione poco probabilistica ) e $Y$ è una v.a. non banale.

[hamming_burst]

Ciao $fu^2$

domanda di notazione:

"fu^2":
Consideriamo $X_n>=0$ per semplicità (iid). Per vedere che il $\text{limsup} S_n/n=+\infty$ uno può considerare la successione $Y_n^M:=X_n\wedge M$, con $M$ fissato.

consa intendi con $\wedge$ (ha troppi significati, per me) come lo definisci in questo contesto? qualche indipendenza particolare?

[fu^2]

Scusa se non l'ho chiarita come notazione, credevo fosse usata
Normalmente se $X,Y$ sono due v.a. (o "quello che vuoi"), allora $X\wedge Y:=\text{min}(X,Y)$

[hamming_burst]

"fu^2":Scusa se non l'ho chiarita come notazione, credevo fosse usata
Normalmente se $X,Y$ sono due v.a. (o "quello che vuoi"), allora $X\wedge Y:=\text{min}(X,Y)$

ah ok, grazie. Simpatica notazione, è colpa mia che non la conosco, ma è piuttosto esplicita ora sapendone il significato

[fu^2]

e se la ribalti ti viene il massimo

[fu^2]

hint:

le funzioni caratteristiche possono aiutare...