L'insieme dei primi 7 numeri - SNS 1975 (Conferma soluzione)
"Dividiamo l'insieme dei primi sette interi positivi in due parti. Dimostrare che, comunque sia fatta questa suddivisione, una delle due parti contiene almeno una coppia di numeri la cui differenza appartiene pure alla parte stessa. (Per esempio, la parte costituita dai numeri 1 e 2 soddisferebbe la condizione richiesta poiché 2-1=1)"
Questa è la mia soluzione, e volevo chiedervi se sia meglio farla in un altro modo, ad esempio non usando i numeri.
Tento di costruire una suddivisione che non presenti le caratteristiche di cui sopra. Innanzitutto, esistono delle coppie di numeri che contengono nella loro stessa coppia il numero che è la differenza fra i due, e queste sono (1,2), (2,4), (3,6). Quindi, per costruire la suddivisione, ciascun numero deve essere separato dall'altro della coppia, e da ciò ne consegue quindi che 2 deve trovarsi separato sia da 1, sia da 4. Perciò nel primo gruppo per ora troveremo 2, e nel secondo troveremo 1 e 4. Trovandosi insieme l'1 e il 4, il 3 (=4-1) non potrà trovarsi nel secondo gruppo, ma nel primo e ciò causa la presenza del 6 nel secondo gruppo. Perciò nel primo gruppo ci sono il 2 e il 3, e nel secondo gruppo ci sono l'1, il 4 e il 6. A questo punto, sia il primo gruppo sia il secondo gruppo non ammettono la presenza del 5 (5-3=2 e 6-5=1) se si vuole far sì che le condizioni iniziali restino valide. Ciò implica che non è possibile dividere l'insieme dei primi 7 numeri in due parti di cui almeno una non contenga almeno una coppia di numeri la cui differenza appartiene pure alla parte stessa.
Che ne dite? Dovrei cercare un modo senza dividere i numeri, ma solo concettuale?
Grazie.
Questa è la mia soluzione, e volevo chiedervi se sia meglio farla in un altro modo, ad esempio non usando i numeri.
Tento di costruire una suddivisione che non presenti le caratteristiche di cui sopra. Innanzitutto, esistono delle coppie di numeri che contengono nella loro stessa coppia il numero che è la differenza fra i due, e queste sono (1,2), (2,4), (3,6). Quindi, per costruire la suddivisione, ciascun numero deve essere separato dall'altro della coppia, e da ciò ne consegue quindi che 2 deve trovarsi separato sia da 1, sia da 4. Perciò nel primo gruppo per ora troveremo 2, e nel secondo troveremo 1 e 4. Trovandosi insieme l'1 e il 4, il 3 (=4-1) non potrà trovarsi nel secondo gruppo, ma nel primo e ciò causa la presenza del 6 nel secondo gruppo. Perciò nel primo gruppo ci sono il 2 e il 3, e nel secondo gruppo ci sono l'1, il 4 e il 6. A questo punto, sia il primo gruppo sia il secondo gruppo non ammettono la presenza del 5 (5-3=2 e 6-5=1) se si vuole far sì che le condizioni iniziali restino valide. Ciò implica che non è possibile dividere l'insieme dei primi 7 numeri in due parti di cui almeno una non contenga almeno una coppia di numeri la cui differenza appartiene pure alla parte stessa.
Che ne dite? Dovrei cercare un modo senza dividere i numeri, ma solo concettuale?
Grazie.
Risposte
Devo ipotizzare che sia corretto? =)
Per me è OK.
"WiZaRd":
Per me è OK.
Quoto.
L'insieme delle differenze è composto dai valori 1, 2, 3, 4, 5, 6. La differenza tra i due insiemi è pertanto di un solo elemento, ma ne servono almeno due (per formare una coppia) affinchè la tesi di partenza sia negata.
Dite che funziona come dimostrazione?
Dite che funziona come dimostrazione?
Sinceramente non l'ho capita.. Puoi spiegarla meglio?
Manco io l'ho capita.
"Ev3nt":
L'insieme delle differenze è composto dai valori 1, 2, 3, 4, 5, 6. La differenza tra i due insiemi è pertanto di un solo elemento, ma ne servono almeno due (per formare una coppia) affinchè la tesi di partenza sia negata.
Dite che funziona come dimostrazione?
Aiuto! Ma l'ho scritta io sta cosa? Ricordo che c'era un ragionamento dietro, se riesco a ricostruirlo ve lo comunico, nel frattempo fate come se non avessi scritto niente.
Pardon!
"elios":
Che ne dite? Dovrei cercare un modo senza dividere i numeri, ma solo concettuale?
Grazie.
Secondo me si. Con 7 numeri si può fare quello che hai fatto tu, ma matematicamente non è molto corretto, se l'insieme fosse stato di 17 o 1000007? Analizzare le varie combinazioni sarebbe un lavoro immane.
@nontrivialzero
Che significa che "non è matematicamente corretto"? A mio avviso il suo ragionamento non fa una grinza: in Matematica non esistono solo dimostrazioni deduttive o induttive, ma anche costruttive. Parecchie cose possono essere dimostrate per via costruttiva o, se mi passate questo termine, anticostruttiva, cioè mostrando che la costruzione non è possibile. Inoltre se l'insieme avesse avuto diciassette o più elementi, chi ci assicura che il claim del problema sarebbe stato ancora valido?
Che significa che "non è matematicamente corretto"? A mio avviso il suo ragionamento non fa una grinza: in Matematica non esistono solo dimostrazioni deduttive o induttive, ma anche costruttive. Parecchie cose possono essere dimostrate per via costruttiva o, se mi passate questo termine, anticostruttiva, cioè mostrando che la costruzione non è possibile. Inoltre se l'insieme avesse avuto diciassette o più elementi, chi ci assicura che il claim del problema sarebbe stato ancora valido?
"WiZaRd":
@nontrivialzero
Che significa che "non è matematicamente corretto"? A mio avviso il suo ragionamento non fa una grinza: in Matematica non esistono solo dimostrazioni deduttive o induttive, ma anche costruttive. Parecchie cose possono essere dimostrate per via costruttiva o, se mi passate questo termine, anticostruttiva, cioè mostrando che la costruzione non è possibile. Inoltre se l'insieme avesse avuto diciassette o più elementi, chi ci assicura che il claim del problema sarebbe stato ancora valido?
Ho soltanto risposto alla domanda che Elios stesso si poneva alla fine, se per te "matematicamente non corretto" non significa niente, possiamo almeno dire che non è molto elegante, visto che i matematici danno molta importanza alla bellezza delle loro dimostrazioni, mi passerai almeno questo termine.
Sì probabilmente hai ragione, infatti mi chiedevo se ci potessero essere altri modi per dimostrarlo. Certo è che si può usare un ragionamento letterale fino ad un certo punto, dato che l'insieme su cui l'ipotesi vale è più che determinato e stabilito: i primi 7 numeri naturali..
@nontrivialzero
Sull'eleganza concordo.
Sull'eleganza concordo.
Visto che rotto le scatole il minimo che posso fare è provare a dare una dimostrazione, se non elegante quanto meno diversa:
Sia il successivo di $n=n+1$ sia $2n+1$ numero dispari, e come noto, i numeri pari sono multipli di $2$, a numeri pari si alternano numeri dispari. Da cui le tesi:
1) il gruppo con il numero 1 non può contenere numeri successivi.
Conseguenza di ciò è che il numero 1 e il numero 2 devono stare in gruppi separati.
2)Il gruppo con il numero 2 non può contenere numeri pari consecutivi e numeri dispari consecutivi.
Che andrebbero spostati nel gruppo 1 il quale non ammette numeri consecutivi.
ok magari si può formulare meglio non sono abituato a scrivere in modo tecnico/matematico ma credo che la logica sia inconfutabile
Sia il successivo di $n=n+1$ sia $2n+1$ numero dispari, e come noto, i numeri pari sono multipli di $2$, a numeri pari si alternano numeri dispari. Da cui le tesi:
1) il gruppo con il numero 1 non può contenere numeri successivi.
Conseguenza di ciò è che il numero 1 e il numero 2 devono stare in gruppi separati.
2)Il gruppo con il numero 2 non può contenere numeri pari consecutivi e numeri dispari consecutivi.
Che andrebbero spostati nel gruppo 1 il quale non ammette numeri consecutivi.
ok magari si può formulare meglio non sono abituato a scrivere in modo tecnico/matematico ma credo che la logica sia inconfutabile
Non mi dire niente ma non ti ho capito.
In altre parole, tutti i numeri consecutivi hanno come differenza 1, quindi nel gruppo con il numero 1 non ci possono essere numeri consecutivi. Da ciò il numero 2 deve essere separato dal numero 1.
Tutti numeri consecutivi dispari 3, 5, 7...ecc. danno come differenza 2, così come danno differenza 2 tutti i numeri pari consecutivi 2, 4, 6, ecc. che vanno separati dal gruppo con il numero 2, ma ciò comporterebbe di inserire un numero pari e un numero dispari consecutivi nel gruppo del numero 1.
Tutti numeri consecutivi dispari 3, 5, 7...ecc. danno come differenza 2, così come danno differenza 2 tutti i numeri pari consecutivi 2, 4, 6, ecc. che vanno separati dal gruppo con il numero 2, ma ciò comporterebbe di inserire un numero pari e un numero dispari consecutivi nel gruppo del numero 1.
OK. Ora mi è chiara.
Grazie.
Grazie.
Sì probabilmente questa è migliore della mia.. Grazie!
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