L'immagine di una mappa non lineare contiene una palla

[Studente Anonimo]

Esercizio. Sia \( \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) l'insieme delle matrici \( 2 \times 2\) ad entrate reali (per esempio con la norma di Frobenius). Si consideri la mappa \( f : \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \to \mathbb{M}_2 (\mathbb{R}) \) definita da \( X \mapsto X + X^2 \). Mostrare che \( f(\mathbb{M}_2 (\mathbb{R})) \) contiene una palla di centro l'origine.

[spugna2]

Non basta dire che...

... $Df$ ha determinante non nullo in $0$?

[Studente Anonimo]

Si', ma perche'?

[spugna2]

Perché i coefficienti di $X^2$ sono polinomi omogenei di secondo grado, quindi le loro derivate parziali sono o $0$ o dei polinomi omogenei di primo grado, che valutati nell'origine danno $0$, perciò il termine $X^2$ non influisce su $Df|_0$, mentre dal termine $X$ si ottiene chiaramente la matrice identità.

[Studente Anonimo]

Si' ok, ma volevo che mi giustificassi meglio l'implicazione \( D f (0,0) \) invertibile \( \Longrightarrow f (\mathbb{R}^2) \) contiene un intorno di \( (0,0)\).

[spugna2]

Beh, è l'enunciato del teorema della funzione inversa, che davo per buono (anche perché non mi ricordo come si dimostra )