Limiti di successioni

[Paolo902]

Esercizio. Dire se le seguenti successioni ammettono limite per $n \to +\infty$ e, in caso affermativo, calcolare il valore di tali limiti:

(a) [tex]a_n:= \frac{\log{n!}}{n \log{n}}[/tex];

(b) [tex]b_n:= \frac{\sqrt[n]{(2n)!!}}{n}[/tex];

(c) [tex]c_n:= \frac{\sqrt[n]{(2n+1)!!}}{n}[/tex];

(d) [tex]d_n:= \frac{\sqrt[n]{n!!}}{n}[/tex].

In spoiler ricordo alcune definizioni utili per svolgere l'esercizio.

Addenda. Ricordo che il semifattoriale di un numero è la funzione $NN \to NN$ definita in modo ricorsivo come segue:
\[
n!! =
\begin{cases}
1 & \text{ se } n = 0,1 \\
n(n-2)!! & \text{ se } n \ge 2
\end{cases}.
\]

In pratica, se $n$ è un numero pari, $n!!$ è il prodotto di tutti i numeri pari minori o uguali ad $n$ (escluso lo $0$). Se invece $n$ è dispari, $n!!$ è il prodotto di tutti i numeri dispari minori o uguali ad $n$. Insomma, possiamo anche scrivere
\[
n!! = \prod_{\substack{0< k \le n/2 \\ k \in \mathbb N}} (n-2k).
\]

P.S. Ho risolto il primo, sugli altri ci sto ancora lavorando (e non ho una soluzione). Buon divertimento

[gugo82]

Ad occhio, consiglierei l'uso dell'approssimazione di Stirling per la funzione \(\Gamma\) dopo aver smanettato un po' con i fattoriali doppi... Ma forse c'è qualche modo per farne a meno.

[Ad esempio, usando AM-GM, si vede che \(b_n\) e \(c_n\) sono limitate.]

[Paolo902]

Per il primo, ho usato quel benedetto teorema di Stolz-Cesaro di cui si parlava qualche giorno fa e viene in un attimo.

Per il secondo, dopo aver smanettato un po' inutilmente, ho trovato su wiki questa bella identità: $2^n n! = (2n)!!$. Forse usando questo si riesce a semplificare il (b)...

[Sk_Anonymous]

"Paolo90":

Per il primo, ho usato quel benedetto teorema di Stolz-Cesaro di cui si parlava qualche giorno fa e viene in un attimo.

Per il secondo, dopo aver smanettato un po' inutilmente, ho trovato su wiki questa bella identità: $2^n n! = (2n)!!$. Forse usando questo si riesce a semplificare il (b)...

@Paolo: Ho sbirciato nel tuo spoiler, e anche il (b) mi pare abbastanza semplice da risolvere, nota quella figata di identità

Si ha pertanto \[\displaystyle \frac{\sqrt[n]{(2n)!!}}{n}=\frac{2\sqrt[n]{n!}}{n} \]
E poi, usando l'approssimazione di Stirling, \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt[n]{n!}}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt[n]{2\pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{n}}}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{e} \sqrt[n]{2 \pi n}=\frac{2}{e}\] dove ho usato il fatto che \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}=1 \).


Per il (c) dovrebbe essere \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=1 \) (ma non ho ancora pensato a come poterlo provare), quindi dovresti guadagnare l'informazione sulla convergenza.

Del resto \[\displaystyle \prod_{k=0}^{n}(1+2k)=\frac{2^{-n}(2n+1)!}{n!} \] quindi \[\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{(2n+1)!!}}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\frac{(2n+1)!}{2^{n} n!}}}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\frac{(2n+1)!}{ n!}}}{2n} \] e poi si potrebbe concludere utilizzando di nuovo Stirling.

[theras]

Ciao a tutti!
Ad occhio potrebbe esser utile,dopo aver "trasportato" quei denominatori sotto il segno di radice n-esima,
usare un mezzo più "elementare" quale il corollario al teorema della media geometrica sulle succ. numeriche:
ovvero il teoremino che afferma come,se $a_n>0$ $AAn inNN$,$EElim_(n to +oo)(a_(n+1))/(a_n)rArrEElim_(n to +oo)(a_n)^(1/n)=lim_(n to +oo)(a_(n+1))/(a_n)$..
Saluti dal web.