Limite operatoriale di proiezioni - own, but surely known
Siano $(X,||\cdot||)$ uno spazio di Banach (reale o complesso) ed $\mathcal{L}(X)$ lo spazio di Banach (reale o complesso, rispettivamente) degli operatori lineari continui $X \to X$ con la norma operatoriale $||\cdot||_{op}$ (indotta da $||\cdot||$). Se $\{P_n\}_{n \in NN} \subseteq \mathcal{L}(X)$ è tale che $P_n^2 = P_n$, per ogni $n \in NN$ (qui, $NN = \{1, 2, \ldots\})$, ed esiste $P \in \mathcal{L}(X)$ per cui $P_n \to P$ in norma, è necessariamente vero che $P$ è una proiezione di $X$ in sé, i.e. $P^2 = P$?
Risposte
Due cose hai mancato di specificare: cosa intendi per norma operatoriale e cosa intendi per quadrato di un'applicazione.
... no problem, rimediamo subito. Scrivendo che $||\cdot||_{op}$ è la norma operatoriale indotta (in $\mathcal{L}(X)$) da $||\cdot||$, il riferimento (implicito) è alla funzione $\mathcal{L}(X) \to RR: T \to \mbox{sup}_{||x||=1} \{||Tx||\}$ - notoriamente, una norma in $\mathcal{L}(X)$. Per il resto, il quadrato di un operatore $T \in \mathcal{L}(X)$ ammettiamo sia, nel caso specifico, quello definito tramite prodotto di composizione, ponendo $T^2 = T \circ T$. Detto questo, se ti avanzano altri dubbi, chiedi pure.
spero di non dire cavolate.. si ha $||P^2-P||=||P^2-P_n+P_n-P||<||P^2 - P_n ^2||+||P_n-P|| -->0 $
"alberto86":
spero di non dire cavolate.. si ha $||P^2-P||=||P^2-P_n+P_n-P||<||P^2 - P_n ^2||+||P_n-P|| -->0 $
Come garantisci che $P_n^2 \to P^2$ in norma?
[OT]
Ho notato che proponi problemi in diverse discipline, Analisi Funzionale, Analisi Complessa, Teoria dei numeri, etc... ed il più delle volte sono "abbastanza" difficili, del tipo che non vengono in mente così, da soli, ad uno studente.
I casi sono due: o hai una grossa libreria cui attingere oppure li riporti da qualche altro foro (magari non in italiano). Sbaglio?
Bada bene è solo curiosità, un buon problema è sempre buono, a prescindere da dove esso venga.
[/OT]
"Gabriel":
Siano $(X,||\cdot||)$ uno spazio di Banach (reale o complesso) ed $\mathcal{L}(X)$ lo spazio di Banach (reale o complesso, rispettivamente) degli operatori lineari continui $X \to X$ con la norma operatoriale $||\cdot||_{op}$ (indotta da $||\cdot||$). Se $\{P_n\}_{n \in NN} \subseteq \mathcal{L}(X)$ è tale che $P_n^2 = P_n$, per ogni $n \in NN$ (qui, $NN = \{1, 2, \ldots\})$, ed esiste $P \in \mathcal{L}(X)$ per cui $P_n \to P$ in norma, è necessariamente vero che $P$ è una proiezione di $X$ in sé, i.e. $P^2 = P$?
Ho notato che proponi problemi in diverse discipline, Analisi Funzionale, Analisi Complessa, Teoria dei numeri, etc... ed il più delle volte sono "abbastanza" difficili, del tipo che non vengono in mente così, da soli, ad uno studente.
I casi sono due: o hai una grossa libreria cui attingere oppure li riporti da qualche altro foro (magari non in italiano). Sbaglio?
Bada bene è solo curiosità, un buon problema è sempre buono, a prescindere da dove esso venga.
[/OT]
[OT] Sbagli. Vuoi la verità? Il più delle volte li improvviso su due piedi - senza, tuttavia, pretendere che siano originali. Se càpita, mi piace segnalarlo - di norma, nell'oggetto del thread (come nella presente circostanza). In alcuni casi, comunque, si tratta di problemi incontrati nel corso degli studi o - perché no? - ispirati dall'argomento in auge tra le discussioni di qualche forum (click). Talora, di generalizzazioni - più o meno significative - di quesiti proposti nel corso delle edizioni andate delle olimpiadi (nazionali e internazionali) della matematica. Raramente, di esercizi spillati da qualche libro - soprattutto perché la mia libreria matematica è piuttosto povera. Ma adesso mi chiedo: avrò soddisfatto con questo la tua curiosità? [/OT]
Non vorrei dire una cavolata, ma provare a formalizzare una cosa del tipo:
$ P_m P_n -> P P_n -> P P = P^2 $
facendo i limiti separatamente su $m$ ed $n$. Invece, facendo il limite con $m=n$:
$ P_n P_n = P_n -> P $
quindi mettendo assieme le cose $P^2 = P$? Chiaramente così non è una dimostrazione, ma magari mettendo tutto giù bene con gli $\epsilon$ e i $\delta$?
$ P_m P_n -> P P_n -> P P = P^2 $
facendo i limiti separatamente su $m$ ed $n$. Invece, facendo il limite con $m=n$:
$ P_n P_n = P_n -> P $
quindi mettendo assieme le cose $P^2 = P$? Chiaramente così non è una dimostrazione, ma magari mettendo tutto giù bene con gli $\epsilon$ e i $\delta$?
"david_e":
Non vorrei dire una cavolata, ma provare a formalizzare una cosa del tipo: $ P_m P_n -> P P_n -> P P = P^2 $ facendo i limiti separatamente su $m$ ed $n$. Invece, facendo il limite con $m=n$: $ P_n P_n = P_n -> P $ quindi mettendo assieme le cose $P^2 = P$? Chiaramente così non è una dimostrazione, ma magari mettendo tutto giù bene con gli $\epsilon$ e i $\delta$?
Se $\{a_{m,n}\}_{m,n \in NN}$ è una funzione $NN^2 \to RR$, non è detto che i limiti $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{m,n}$, $\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{m,n}$ e $\lim_{n \to \infty} a_{n,n}$, quand'anche esistono, debbano coincidere necessariamente. Per esempio, ammettiamo $a_{m,n} = e^{-(m/n+n/m)}$, per ogni $m,n \in NN$. Allora $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{m,n} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{m,n} = 0$, eppure $\lim_{n \to \infty} a_{n,n} = e^{-2}$. E, naturalmente, non c'è ragione di ritenere che un discorso analogo non si possa ripetere anche nel caso operatoriale.
"Gabriel":
[OT] Sbagli. Vuoi la verità? Il più delle volte li improvviso su due piedi - senza, tuttavia, pretendere che siano originali. Se càpita, mi piace segnalarlo - di norma, nell'oggetto del thread (come nella presente circostanza). In alcuni casi, comunque, si tratta di problemi incontrati nel corso degli studi o - perché no? - ispirati dall'argomento in auge tra le discussioni di qualche forum (click). Talora, di generalizzazioni - più o meno significative - di quesiti proposti nel corso delle edizioni andate delle olimpiadi (nazionali e internazionali) della matematica. Raramente, di esercizi spillati da qualche libro - soprattutto perché la mia libreria matematica è piuttosto povera. Ma adesso mi chiedo: avrò soddisfatto con questo la tua curiosità? [/OT]
Però non sei (o sei stato) uno studente di Matematica, altrimenti avresti usato qualche avverbio avversativo parlando della tua "povera libreria matematica"... Sbaglio di nuovo?
Anzi mi scuso se qui sto rispondendo OT e se è un po' che non svolgo esercizi (in generale) sul forum, però in questi giorni sto cercando di studiare almeno un po' nella biblioteca di Ingegneria, dove non prende il WiFi; quel po' che scrivo sul forum lo posto a notte fonda...
Non sbagli. Adesso, però, basta divagare! C'è un problema che attende soluzione.
non basta decomporre $P_n^2-P^2$ come $(P_n-P)(P_n+P)$ tanto gli operatori sono un'algebra
"alberto86":
non basta decomporre $P_n^2-P^2$ come $(P_n-P)(P_n+P)$ tanto gli operatori sono un'algebra
Per avere uguaglianza gli operatori $P_n,P$ dovrebbero commutare, il che non è generalmente vero: infatti hai $(P_n-P)(P_n+P)=P_n^2-PP_n+P_nP-P^2$, ma non è necessariamente vero che $P_nP=PP_n$.
si ma la parte del commutatore tende a $P^2-P^2$
"Gabriel":
[quote="david_e"]Non vorrei dire una cavolata, ma provare a formalizzare una cosa del tipo: $ P_m P_n -> P P_n -> P P = P^2 $ facendo i limiti separatamente su $m$ ed $n$. Invece, facendo il limite con $m=n$: $ P_n P_n = P_n -> P $ quindi mettendo assieme le cose $P^2 = P$? Chiaramente così non è una dimostrazione, ma magari mettendo tutto giù bene con gli $\epsilon$ e i $\delta$?
Se $\{a_{m,n}\}_{m,n \in NN}$ è una funzione $NN^2 \to RR$, non è detto che i limiti $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{m,n}$, $\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{m,n}$ e $\lim_{n \to \infty} a_{n,n}$, quand'anche esistono, debbano coincidere necessariamente. Per esempio, ammettiamo $a_{m,n} = e^{-(m/n+n/m)}$, per ogni $m,n \in NN$. Allora $\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} a_{m,n} = \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} a_{m,n} = 0$, eppure $\lim_{n \to \infty} a_{n,n} = e^{-2}$. E, naturalmente, non c'è ragione di ritenere che un discorso analogo non si possa ripetere anche nel caso operatoriale.[/quote]
Certamente, ma se $\{ a_{m n} \}_{m,n \in NN}$ converge, allora i due limiti coincidono, visto che si tratta di estratte... si tratterebbe di dimostrare che la successione intera $ \{ P_n P_m \}_{m,n}$ converge...
"alberto86":
si ma la parte del commutatore tende a $P^2-P^2$
Cioè $P_nP-PP_nto O$ ($O$ è l'operatore nullo), perchè infatti:
$0le ||P_nP-PP_n||=||(P_n-P)P+P(P-P_n)||le||P_n-P||*||P||+||P||*||P-P_n||=2||P||*||P_n-P|| to 0$
(la norma è quella di $\mathcal{L}(X)$ ovviamente, ma mi seccava mettere tutti i pedici).
Insomma vuoi concludere così:
$P_n-P^2=P_n^2-P^2=(P_n+P)(P_n-P)+(P_nP-PP_n) quad => quad 0le ||P_n-P^2||le (||P||+"sup"_(n in NN)||P_n||)*||P_n-P||+||P_nP-PP_n|| to 0 quad => quad ||P_n-P^2||to 0$
($"sup"_(n in NN)||P_n|| <+oo$ perchè $(P_n)$ è convergente in norma), onde $P^2=P$ per unicità del limite in $\mathcal{L}(X)$.
Mi pare buona.
l'idea era quella solo che non essendo ancora bravo con il TeX mi scoccio a scrivere tutti i passaggi
Sì, proprio così. D'altronde, in ogni algebra di Banach $(X,||\cdot||)$, reale o complessa, vale che, se $\{x_n\}_{n \in NN}$ è una successione a valori in $X$ convergente (in norma) a un qualche elemento $x \in X$, allora $\lim_{n \to \infty} x_n^k = x^k$, per ogni $k \in NN$.
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