Limite di una successione di integrali

[Paolo902]

Problema. Sia $\varphi \in \C_c^{1}(\mathbb R)$, cioè di classe $C^1$ e a supporto compatto. Calcolare
\[
\lim_{n \to +\infty} \int_{\mathbb R} \frac{1}{2n}\vert x \vert^{\frac{1}{n}-1}\phi(x)\text{d}x.
\]

Sono in possesso della soluzione. Non è difficile, per cui... buon divertimento!

[Rigel1]

Qualcosa tipo \(\phi(0)\)?

[Paolo902]

@ Rigel:

E già, è proprio lui. L'hai visto ad occhio? Comunque non avevo dubbi, ancora prima di aprire lo spoiler ero certo che il tuo risultato fosse corretto

[Rigel1]

@Paolo:

Più che ad occhio, diciamo con paio di passaggi al volo (integrazione per parti + convergenza dominata). Non avendo fatto i conti in dettaglio non ero però certo che i coefficienti fossero corretti

[totissimus]

Il risultato si ottiene anche con maggiorazioni elementari e sotto condizioni meno restrittive.

[Paolo902]

Davvero? Ti spiacerebbe spendere due paroline in più sulle condizioni meno restrittive cui alludi? Grazie.