Limite

[Studente Anonimo]

Calcolare, se esiste, \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin( x \sin(1/x))}{x \sin(1/x)}.\]

[Quinzio]

La metto giu' in modo un po' casereccio...

Se $f(x) = (sin(x sin(1/x)))/(x sin(1/x))$

per ogni $x_0$ e' possibile trovare $x < x_0$ tale che $f(x)$ si avvicini a $1$.

Infatti se $k > 1/(2 pi x_0)$ con $k \in NN$,

abbiamo che per $x_k = 1/(2 pi k)$, $lim_{x -> x_k} f(x ) = 1$.

[Studente Anonimo]

@Quinzio

Yes. Di recente ho visto che alcuni libri di Analisi I[nota]In realta', di Calculus.[/nota] edulcorano la definizione di limite e richiedono che la funzione sia definita in un intorno bucato del punto limite \(x_0\); in tal caso uno sarebbe portato a concludere che il limite non esiste, perche' il dominio di \(f\) e' \(D= \{x \in \mathbb{R} \, : \, x \ne 1/n \pi, \, n \in \mathbb{N} \}\). In realta' la definizione "generale" di limite richiede soltanto che \(x_0\) sia di accumulazione per \(D\), con \(D\) insieme e \(f\) definita in (almeno) \( D \setminus \{x_0\}\).

[C0SIM0]

Però non capisco, non è il classico limite notevole? Mi sembra il posto sbagliato per proporre il quesito.

p.s.

Ho letto la tua motivazione ma mi pare che per introdurre i limiti anche alle superiori si vedano i limiti di successioni che per definizione sono tutti elementi discreti ma che hanno un punto di accumulazione

[Studente Anonimo]

"C0SIM0":
Ho letto la tua motivazione ma mi pare che per introdurre i limiti anche alle superiori si vedano i limiti di successioni che per definizione sono tutti elementi discreti ma che hanno un punto di accumulazione

Non ho capito. Il calcolo e' ovvio, ma non e' quello il punto. Mi sono di recente capitati sotto mano dei libri di Calculus (tra cui lo Stewart) in cui la definizione richiede che \(f\) sia definita in un intorno bucato. Nei libri in italiano che ho guardato nessuno lo fa, ma sara' la solita storia che l'analisi non e' il calculus.

[axpgn]

Non capisco ...

Sia $f(x)=x$ che $f(x)=x^2/x$ hanno $lim_(x->0) x = lim_(x->0) x^2/x = 0$ ma una è definita in $x_0=0$ mentre l'altra no.
Ovvero non mi interessa se la funzione è definita in $x_0$ quando calcolo il limite, basta che $x_0$ sia di accumulazione.

[Quinzio]

Il fatto e' che questa funzione
\[ \frac{\sin( x \sin(1/x))}{x \sin(1/x)}. \]
non solo non e' definita in $x=0$ ma anche in tutti i punti $x = 1/(k\ pi)$, a causa del $sin(1/x)$ al denominatore.
Piu' ti avvicini all'origine, piu' questa funzione ha dei punti non definiti, pur essendo in quantita' numerabile, un infinito numerabile.

[Studente Anonimo]

"axpgn":
Ovvero non mi interessa se la funzione è definita in $x_0$ quando calcolo il limite, basta che $x_0$ sia di accumulazione.

La funzione in OP non solo non e' definita in \(0\), ma non lo e' nemmeno nei punti \( 1/\pi n \). Il che potrebbe generare confusione, se uno applica una versione baby della definizione di limite che si trova a volte in giro: infatti cosa succede se cerchi di calcolare \(f(1/\pi n)\) per \(n \to \infty\)? Di fatto, pero', il limite esiste, perche' la definizione (generale) di limite richiede \(f\) definita in \( D \setminus \{ x_0 \} \subseteq \mathbb{R}\), con \(D\) insieme (e non intervallo, o intorno o whatever) e \(x_0\) di accumulazione per \(D\). E' un esercizio per far riflettere su questa cosa.

[axpgn]

Ti avevo interpretato al contrario