Le "ombre" di una successione di Fejér convergono

[Studente Anonimo]

In uno spazio di Hilbert \( \mathcal{H} \) una successione \( (x_n )_{n \in \mathbb{N} } \subseteq \mathcal{H} \) si dice Fejér-monotona rispetto ad un \( C \subseteq \mathcal{H} \) se per ogni \( x \in C \) e per ogni \( n \in \mathbb{N} \) si ha \[ \|x_{n+1} - x \| \le \|x_n - x \|. \]
Supponiamo ora che \( K \subseteq \mathcal{H} \) sia non vuoto, chiuso e convesso. Se \( (x_n )_{n \in \mathbb{N} } \subseteq \mathcal{H} \) è Fejér-monotona rispetto a \( K \), mostrare che la successione delle proiezioni \( (P_K (x_n) )_{n \in \mathbb{N} } \) è fortemente (i.e. in norma) convergente ad un punto \( \in K \).

[Bremen000]

Noto subito che si ha
\[ |P_K(x_{n+1})-x_{n+1}| \le |P_K(x_n)-x_{n+1} | \le | P_K(x_n)-x_n| \]
per definizione di successione di Fejér-monotona rispetto a $K$, al fatto che le proiezioni stanno in $K$ e per definizione di proiezione.
Da questa disuguaglianza ricavo due cose:

1. La successione $\{ | P_K(x_n)-x_n| \}_{n \ge 0}$ è convergente perché monotona decrescente limitata dal basso.
2. Per ogni $m >n$ vale $|P_K(x_n)-x_{m} | \le | P_K(x_n)-x_n|$.

Ora pronti a incrociare gli occhi con gli indici: per la regola del parallelogramma
\[ |x-y|^2 = 2|x|^2 + 2|y|^2 - |x+y|^2 \]
con \( x = P_K(x_m) -x_m \) e \( y = P_K(x_n) - x_m \) con $m>n$ si ha
\begin{align*}
| P_K(x_m) - P_K(x_n) |^2 &= 2|P_K(x_m) -x_m|^2 + 2|P_K(x_n) - x_m|^2 - |P_K(x_m) + P_K(x_n) - 2x_m|^2 \\
& = 2|P_K(x_m) -x_m|^2 + 2|P_K(x_n) - x_m|^2 - 4 \left | \frac{P_K(x_m) + P_K(x_n)}{2}-x_m \right |^2 \\
& \le 2|P_K(x_m) -x_m|^2 + 2|P_K(x_n) - x_m|^2 - 4| P_K(x_m)-x_m|^2 \\
& = 2|P_K(x_n) -x_m|^2 - 2|P_K(x_m) - x_m|^2 \\
& \le 2 \left ( |P_K(x_n) -x_n|^2 - 2|P_K(x_m) - x_m|^2 \right )
\end{align*}
dove ho usato per la prima disuguaglianza la definizione di proiezione e il fatto che $K$ sia convesso e nell'ultima disuguaglianza ho usato il punto 2.
Quest'ultima quantità va a $0$ per il punto 1. e quindi anche la successione $\{P_K(x_n)\}_{n \ge 0}$ è di Cauchy. Grazie alla completezza di \( \mathcal{H} \) e alla chiusura di $K$ si conclude.

P.S.: non so se esiste un modo per evitare la regola del parallelogramma. E' immediato verificare che $\{P_K(x_n)\}_{n \ge 0}$ converge debole in sottosuccessione a qualche $x \in K$ ma non saprei dire di più...

[Studente Anonimo]

Molto bene. Anche la dimostrazione che ho in mente io usa essenzialmente la regola del parallelogramma. Se hai voglia puoi dimostrare anche una conseguenza immediata: cioe' che se, nelle medesime ipotesi, \( x_n \rightharpoonup x \in K \) (convergenza debole), allora \( P_K (x_n) \to x \). Un hint, perche' potrebbe non essere immediato: usa il Teorema 1.1 di questo (e' un risultato classico... ed il primo riferimento bibliografico che sono riuscito a trovare).

[dissonance]

A me invece piacerebbe vedere un esempio, se possibile. Grazie.

[Studente Anonimo]

In effetti esempi belli di questo fatto non ne ho mai visti. Potremmo provare a costruirne uno. Un possibile punto di partenza potrebbe essere quello di considerare operatori quasi-nonexpansive \(T\) (possibilmente nonlineari) e successioni di punti \( x_{n+1} = Tx_n \), che sono di Fejér rispetto all'insieme dei punti fissi di \(T\).

[dissonance]

Ma allora perché ti dedichi a questa roba? Non è una domanda ironica, davvero vorrei saperlo. Come sei venuto a conoscenza di questa definizione?

[Studente Anonimo]

"dissonance":Ma allora perché ti dedichi a questa roba? Non è una domanda ironica, davvero vorrei saperlo. Come sei venuto a conoscenza di questa definizione?

Il mio dottorato e' "motivato" dallo studio di un problema inverso, ed uno degli algoritmi classici per "risolverlo" nella pratica (Fienup) e' un adattamento di POCS (problema: trovare un punto nell'intersezione di insiemi convessi) all'universo non convesso. Queste nozioni, soprattutto monotonia secondo Fejer, sono in qualche modo "propedeutiche" a POCS e (per esempio) all'algoritmo di Krasnoselskii-Mann (ma in realta' ad un sacco di altri schemi). La cosa interessante imho e' che tutta questa teoria si puo' scrivere per operatori (non necessariamente lineari) in spazi di Hilbert (o addirittura uniformemente convessi), anche se poi uno lavora plausibilmente con cose finito-dimensionali.

Comunque ho riguardato la letteratura classica di questi argomenti (principalmente i libri e i lavori di Bauschke, Combettes e Lewis) ma di esempi espliciti non ne ho trovati. Probabilmente bisogna guardare a chi ha fatto queste cose dal punto di vista piu' dell'analisi non lineare (Brezis? Minty? Rockafellar? Non saprei).

[dissonance]

Capisco. Grazie mille, è interessante.