Le dita dei marziani - SNS 1962
"Si sostiene talvolta che noi usiamo il sistema decimale di numerazione (per cui, per esempio, $362$ significa $3*10^2+6*10+2$) in quanto abbiamo dieci dita.
Un marziano, dopo aver vista scritta l'equazione:
$x^2-16*x+41=0$,
invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive $10$.
Quante dita hanno i marziani?
NB: per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra."
Io ho risolto questo esercizio sostanzialmente a tentativi, cioè analizzando i casi di base 2,3,4 e così via e sono giunta alla conclusione che i marziani hanno 8 dita:
Infatti se scriviamo l'equazione a base 8, cioè ponendo $16_8=1*8+6*1=14$ e $41_8=4*8+1*1=33$, otteniamo:
$x^2-14x+33=0$ (a base 10).
Risolvendola le due radici sono $x_1=3$ e $x_2=11$, la cui differenza è 8 (in base 10), e quindi 10 in base 8.
C'è un modo più elegante per risolverlo, cioè senza andare 'a tentoni'?
Un marziano, dopo aver vista scritta l'equazione:
$x^2-16*x+41=0$,
invitato a scrivere la differenza delle radici, scrive $10$.
Quante dita hanno i marziani?
NB: per i numeri compresi fra 0 e 6 la scrittura dei marziani coincide con la nostra."
Io ho risolto questo esercizio sostanzialmente a tentativi, cioè analizzando i casi di base 2,3,4 e così via e sono giunta alla conclusione che i marziani hanno 8 dita:
Infatti se scriviamo l'equazione a base 8, cioè ponendo $16_8=1*8+6*1=14$ e $41_8=4*8+1*1=33$, otteniamo:
$x^2-14x+33=0$ (a base 10).
Risolvendola le due radici sono $x_1=3$ e $x_2=11$, la cui differenza è 8 (in base 10), e quindi 10 in base 8.
C'è un modo più elegante per risolverlo, cioè senza andare 'a tentoni'?
Risposte
senza andare a tantoni:
l'equazione proposta, dato che non conosci il sistema di numerazione, ma puoi benissimo supporre che sia posizionale la puoi riscrivere in questo modo
$x^2-(1*a+6*1)x+(4*a+1)=0$
dove a è appunto la base di numerazione che stai cercando. Ora devi imporre che la differenza delle sue soluzioni di quest'equazione sia appunto $1*a+0*1$.
Quindi ti basta risolvere in x l'equazione, otterrai due soluzioni in cui comparirà il "parametro" a, non ti resta che imporre la differenza di questi due valori uguale a $a$.
Ne ottieni l'equazione $-4a+32=0$ la cui soluzione è chiaramente 8.
(solo una cosa stai attento a quando fai $x_1-x_2$ perchè se inverti $x_1$ e $x_2$ ti esce un'equazione non valida per nessun valore di a)
l'equazione proposta, dato che non conosci il sistema di numerazione, ma puoi benissimo supporre che sia posizionale la puoi riscrivere in questo modo
$x^2-(1*a+6*1)x+(4*a+1)=0$
dove a è appunto la base di numerazione che stai cercando. Ora devi imporre che la differenza delle sue soluzioni di quest'equazione sia appunto $1*a+0*1$.
Quindi ti basta risolvere in x l'equazione, otterrai due soluzioni in cui comparirà il "parametro" a, non ti resta che imporre la differenza di questi due valori uguale a $a$.
Ne ottieni l'equazione $-4a+32=0$ la cui soluzione è chiaramente 8.
(solo una cosa stai attento a quando fai $x_1-x_2$ perchè se inverti $x_1$ e $x_2$ ti esce un'equazione non valida per nessun valore di a)
Ciao, ti segnalo sue discussioni proprio a proposito di questo problema.
https://www.matematicamente.it/forum/ali ... t=marziani
https://www.matematicamente.it/forum/mal ... t=marziani
Buon lavoro!
https://www.matematicamente.it/forum/ali ... t=marziani
https://www.matematicamente.it/forum/mal ... t=marziani
Buon lavoro!
Che stupida a non pensarci! Dovevo solo parametrizzare un procedimento che avevo già fatto.. Grazie!
Buongiorno a tutti voi,sono nuovo di questo forum,ma già mi piace 
Passavo di qui perchè ero interessato a preparare l'ammissione alla SNS e ho visto in questo problema l'opportunità di cimentarmi.
Premetto che la mia soluzione è molto semplice,ma d'altronde è questo lo spirito con cui affrontare questi test,pochi calcoli e tanto intuito
Detto questo,veniamo a noi:la prima parte del problema ci dice a caratteri cubitali che i numeri che i marziani scrivono,ad esempio 451,non vanno intesi come $ 4\cdot10^{2}+5\cdot10+1 $ bensì come $ 4\cdotd^[2]+5\cdotd+1 $ ,dove $ d $ è il numero di dita del marziano,quindi il $ 10 $ che lui scrive non è un $ 10 $ ma semplicemente $ d $ .
Dopodichè,è ormai palese che la differenza tra le radici del polinomio è $ 8 $ ,quindi banalmente $ d=8 $ .
Ecco qui,dovrebbe andar bene,qualche anima pia che passi di qui a controllare la veridicità della mia soluzione?
Passavo di qui perchè ero interessato a preparare l'ammissione alla SNS e ho visto in questo problema l'opportunità di cimentarmi.
Premetto che la mia soluzione è molto semplice,ma d'altronde è questo lo spirito con cui affrontare questi test,pochi calcoli e tanto intuito
Detto questo,veniamo a noi:la prima parte del problema ci dice a caratteri cubitali che i numeri che i marziani scrivono,ad esempio 451,non vanno intesi come $ 4\cdot10^{2}+5\cdot10+1 $ bensì come $ 4\cdotd^[2]+5\cdotd+1 $ ,dove $ d $ è il numero di dita del marziano,quindi il $ 10 $ che lui scrive non è un $ 10 $ ma semplicemente $ d $ .
Dopodichè,è ormai palese che la differenza tra le radici del polinomio è $ 8 $ ,quindi banalmente $ d=8 $ .
Ecco qui,dovrebbe andar bene,qualche anima pia che passi di qui a controllare la veridicità della mia soluzione?
"Ghirlinghe":
Dopodichè,è ormai palese che la differenza tra le radici del polinomio è $ 8 $ ,quindi banalmente $ d=8 $
Da cosa si evince che la palese differenza delle radici è 8?
Non mi pare un quiz da sezione "Pensare un po' di più". Voglio dire: C'è molto poco da "pensare".
Effettivamente ho scritto quel "palese" in un momento di non grande lucidità 
Comunque intendevo dire che,dato che ormai l'equazione è stata già risolta,davo per assodato che la differenza tra le radici fosse 8,senza però effettivamente averlo dimostrato.
Mea culpa
Comunque intendevo dire che,dato che ormai l'equazione è stata già risolta,davo per assodato che la differenza tra le radici fosse 8,senza però effettivamente averlo dimostrato.
Mea culpa
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