La derivata di .....

[Livius1]

Calcolare $\frac{d}{dx}( x^{x^{x^{x^{. ^{. ^{.}}}}}})$

[j18eos]

Così, ad occhio, direi che la domanda è mal posta...

Definite:
\[
f_1(x)=x\\
\forall n\in\mathbb{N}_{\geq2},\,f_n(x)=x^{f_{n-1}(x)}
\]
determinare il carattere della successione \(\displaystyle f_n(x)\), e derivare (se possibile) il suo limite.

[Bremen000]

Un conto formale (bisognerebbe controllare 8000 cose):

Se \( f(x) =x^{x^{x^{x^{. ^{. ^{.}}}}}} \) allora \( f(x) = x^{f(x)} \) da cui \( f'(x) = \frac{d}{dx} \exp \{ f(x)\log(x) \} \) cioè

\[ f'(x) = \biggl ( f'(x) \log(x)+\frac{f(x)}{x} \biggr ) x^{f(x)} =f'(x)f(x) \log(x) +\frac{f(x)^2}{x}\]

da cui

\[ f'(x) = \frac{f(x)^2}{x(1-f(x)log(x))} \]

[j18eos]

@Bremen000

Se fosse \(\displaystyle x=2\), quanto varrebbe la \(\displaystyle f(x)\)?

[Bremen000]

@j18eos

Se $x=2$ la successione diverge brutalmente. Ho fatto solo dei conti formali, bisognerebbe prima fare vedere che converge e dove, poi vedere se si riesce a dire qualcosa della derivabilità e poi forse i miei conti servono a qualcosa. Non mi sembra un problema facile, in ogni caso.

[axpgn]

Volendo converge (se ho capito cosa intendi … )

Cordialmente, Alex

[j18eos]

Volendo converge almeno per \(\displaystyle x\in]0,1]\). Falso! L'insieme di convergenza è \(\displaystyle\left[e^{-e},e^{\frac{1}{e}}\right]\). Leggere in séguito...

Il difficile, almeno per me, è capire per quali \(\displaystyle x\in]1,+\infty[\) converge quella successione di funzioni...

[Bremen000]

Mmmm penso che la questione sia complicata: in questo articolo a pagina 240 c'è un teorema che almeno descrive la convergenza puntuale!

[Livius1]

Bremen000, esatto! Il problema di capire, se lo è,cioè dove è definita tale funzione, pare (e dico pare perché non ne sono affatto certo,le fonti da cui ho attinto non sono attendibili al 100%, e al momento non ne trovo altre miglori) sia stato risolto positivamente. E la risposta è talmente sorprendente, che neanche io ci credo e perciò non ve lo dico, ma non per cattiveria, ma perché potrebbe essere una, appunto .... bufala matematica ! Comunque credo che la cosa non sia affatto banale.

[Mathita]

Curioso come questo problema sia intimamente legato a quest'altro tramite la funzione speciale W di Lambert.

[dissonance]

@Livius: puoi mettere un titolo più specifico? "La derivata di una torre di esponenziali" mi sembra molto migliore.

[Livius1]

Vorrei farlo, ma non appare il tasto MODIFICA

[dissonance]

Ah ecco cosa succedeva. Il tasto "MODIFICA" scompare dopo una settimana, sono passati due anni!

[Livius1]

Ah ecco infatti ...... comunque avevo pensato meglio tardi che mai !