$\int_0^{1} f(x)x^n \text{d} x=0 \quad \forall n\ge0$

[Steven11]

Sia [tex]$f\in C ([0,1])$[/tex] tale che [tex]$\int_0^{1} f(x)x^n \text{d} x=0 \quad \forall n\ge0$[/tex]

Mostrare che risulta [tex]$f\equiv0$[/tex].

p.s.: non ho la soluzione
p.p.s: la fonte è un esame di ammissione al Dottorato (università La Sapienza).

Good work!

[ViciousGoblin]

"antani":
Se poi come dice dissonance è giusto allora già sono tranquillo perchè almeno quel poco che so è corretto, il problema è che tutte le cose che avete detto sulle complicanze di avere "una base non ortonormale" non mi sarebbero mai venute in mente (per mia mancanza, ovviamente)

Beh se ci pensi per un istante ti rendi conto che anche in dimensione finita c'è un minimo di lavoro per dire:

se $e_1,...,e_n$ è una base (non ortogonale) e se $ = ...= =0$, allora $f=0$.

Se ragioni "per componenti" (come mi pareva volessi fare tu) dovresti ragionare così:
scrivo $f=\sum_{j=1}^n c_je_j$ e per l'ipotesi $\sum_{j=1}^n c_j =0$ per $k=1,...,n$. Dato che la matrice $()_{j,k}$ ha determinante diverso da zero (perché ??) ottengo $c_1=...=c_n=0$.

Si può anche fare un altro giro (che è quello che si è usato nei post precedenti). Se $f$ è ortogonale ai vettori della base, allora è ortogonale a qualunque elemento dello spazio - in particolare è ortogonale a se stesso e quindi $f=0$. In formule $||f||^2= = = \sum_{j=1}^n c_j =0 \Rightarrow f=0$.