Insiemi ordinati come famiglie di insiemi
dimostrare o confutare:
per ogni famiglia di insiemi $E$ ordinata tramite l'inclusione dotata di sup$(a,b)$per ogni $a,b$ esiste una famiglia di insiemi $F$ isomorfa ad $E$ come insieme ordinato tale che valga sup$(a,b)=aUb$
questa è una congettura che ha fatto un mio amico a scuola,la nostra opinione è che sia vera. in altre parole dice che ogni insieme parzialmente ordinato dotato di sup può esser visto come una famiglia di insiemi dove il sup coincide con l'unione insiemistica.
qualche suggerimento?noi nn riusciamo a cavarci molto.
vi faccio un'esempio per far capire di cosa sto parlando.
prendiamo una famiglia $E$ formata da quattro insiemi:$E= {1},{2},{3},{1,2,3}$ e ordiniamola tramite $sup$
risulta che $E$ è sempre dotato di sup ma in generale non vale sup$(a,b)=aUb$; ad esempio sup$({1},{2})={1,2,3}$.
ma $E$ è isomorfo come insieme ordinato a $F={1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}$,dove F è sempre ordinato tramite l'inclusione.
solo che in $F$ vale sempre la relazione cercata,cioè sup$(a,b)= aUb$
riesco a trovare un $F$ simile per ogni insieme ordinato $E$? è questa domanda quella a cui voglio rispondere.
che è equivalente al dimostare che ogni semigruppo commutativo idempotente è isomorfo a una qualche famiglia di insiemi resa semigruppo tramite l'unione insiemistica.
per ogni famiglia di insiemi $E$ ordinata tramite l'inclusione dotata di sup$(a,b)$per ogni $a,b$ esiste una famiglia di insiemi $F$ isomorfa ad $E$ come insieme ordinato tale che valga sup$(a,b)=aUb$
questa è una congettura che ha fatto un mio amico a scuola,la nostra opinione è che sia vera. in altre parole dice che ogni insieme parzialmente ordinato dotato di sup può esser visto come una famiglia di insiemi dove il sup coincide con l'unione insiemistica.
qualche suggerimento?noi nn riusciamo a cavarci molto.
vi faccio un'esempio per far capire di cosa sto parlando.
prendiamo una famiglia $E$ formata da quattro insiemi:$E= {1},{2},{3},{1,2,3}$ e ordiniamola tramite $sup$
risulta che $E$ è sempre dotato di sup ma in generale non vale sup$(a,b)=aUb$; ad esempio sup$({1},{2})={1,2,3}$.
ma $E$ è isomorfo come insieme ordinato a $F={1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}$,dove F è sempre ordinato tramite l'inclusione.
solo che in $F$ vale sempre la relazione cercata,cioè sup$(a,b)= aUb$
riesco a trovare un $F$ simile per ogni insieme ordinato $E$? è questa domanda quella a cui voglio rispondere.
che è equivalente al dimostare che ogni semigruppo commutativo idempotente è isomorfo a una qualche famiglia di insiemi resa semigruppo tramite l'unione insiemistica.
Risposte
Direi falso. Sarei assolutamente certo se oltre a richiedere l'esistenza del sup richiedeste anche quella dell'inf per ogni coppia di elementi dell'insieme. In tal caso la struttura ordinata prende il nome di reticolo ed esistono reticoli non distributivi, mentre tutti i sottoreticoli di un insieme delle parti (cioè tutte le famiglie di insiemi) sono distributivi.
Vale di più: un reticolo è distributivo se e solo se è isomorfo al sottoreticolo del reticolo delle parti di un qualche insieme...
Vale di più: un reticolo è distributivo se e solo se è isomorfo al sottoreticolo del reticolo delle parti di un qualche insieme...
difatti la congettura iniziale era sui reticoli,ma come dici tu cio non è possibile e come controesempio avevo trovato proprio la famiglia di prima a cui aggiungevo il vuoto,avevo dimostrato che potevo avere o l'unione uguale al sup o l'intersezione uguale all'inf,mai assieme.
ciò però non vuol dire che la congettura sia falsa,mi sono davvero scervellato per la costruzione di un controesempio,anche infinito,ma niente.
scusa ma prendi l'esempio di prima, cioè $F=[{$vuoto$},{1},{2},{3},{1,2,3}]$
questo è un reticolo non distributivo isomorfo a un sottoreticolo di $P({1,2,3}$..
non è che hai omesso qualche ipotesi o che la freccia vale solo verso una parte? perchè quel teorema puo essermi utile..
ciò però non vuol dire che la congettura sia falsa,mi sono davvero scervellato per la costruzione di un controesempio,anche infinito,ma niente.
"maurer":
Vale di più: un reticolo è distributivo se e solo se è isomorfo al sottoreticolo del reticolo delle parti di un qualche insieme...
scusa ma prendi l'esempio di prima, cioè $F=[{$vuoto$},{1},{2},{3},{1,2,3}]$
questo è un reticolo non distributivo isomorfo a un sottoreticolo di $P({1,2,3}$..
non è che hai omesso qualche ipotesi o che la freccia vale solo verso una parte? perchè quel teorema puo essermi utile..
No, sei tu che sei fuori strada. Ti disegno i reticoli per farti capire. Il reticolo che hai considerato tu è questo
[tex]\xymatrix{
& \{1,2,3\} \\ \{1\} \ar@{-}[ur] & \{2\} \ar@{-} & \{3\} \ar@{-}[ul] \\ & \emptyset \ar@{-} \ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul] }[/tex]
Mentre il reticolo delle parti di [tex]\{1,2,3\}[/tex] è
[tex]\xymatrix{ & \{1,2,3\} \\ \{1,2\} \ar@{-}[ur] & \{1,3\} \ar@{-} & \{2,3\} \ar@{-}[ul] \\ \{1\} \ar@{-} \ar@{-}[ur] & \{2\} \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] & \{3\} \ar@{-} \ar@{-}[ul] \\ & \emptyset \ar@{-}[ur] \ar@{-} \ar@{-}[ul] }[/tex]
Ora, immergendo il primo reticolo nel secondo, avremmo [tex]\sup \{\{1\}, \{2\}\} = \{1,2\}[/tex], mentre nel primo [tex]\sup \{\{1\}, \{2\}\} = \{1,2,3\}[/tex] e quindi, per definizione di sottoreticolo, il primo non è un sottoreticolo del secondo.
Come in tutte le strutture algebriche, siamo interessati al fatto che il risultato di un'operazione non dipenda dal contesto: se eseguo 2 + 4 in [tex]2\mathbb{Z}[/tex] non posso ottenere un risultato diverso da quando la eseguo in [tex]\mathbb{Z}[/tex], altrimenti nulla avrebbe senso!
[tex]\xymatrix{
& \{1,2,3\} \\ \{1\} \ar@{-}[ur] & \{2\} \ar@{-} & \{3\} \ar@{-}[ul] \\ & \emptyset \ar@{-} \ar@{-}[ur] \ar@{-}[ul] }[/tex]
Mentre il reticolo delle parti di [tex]\{1,2,3\}[/tex] è
[tex]\xymatrix{ & \{1,2,3\} \\ \{1,2\} \ar@{-}[ur] & \{1,3\} \ar@{-} & \{2,3\} \ar@{-}[ul] \\ \{1\} \ar@{-} \ar@{-}[ur] & \{2\} \ar@{-}[ul] \ar@{-}[ur] & \{3\} \ar@{-} \ar@{-}[ul] \\ & \emptyset \ar@{-}[ur] \ar@{-} \ar@{-}[ul] }[/tex]
Ora, immergendo il primo reticolo nel secondo, avremmo [tex]\sup \{\{1\}, \{2\}\} = \{1,2\}[/tex], mentre nel primo [tex]\sup \{\{1\}, \{2\}\} = \{1,2,3\}[/tex] e quindi, per definizione di sottoreticolo, il primo non è un sottoreticolo del secondo.
Come in tutte le strutture algebriche, siamo interessati al fatto che il risultato di un'operazione non dipenda dal contesto: se eseguo 2 + 4 in [tex]2\mathbb{Z}[/tex] non posso ottenere un risultato diverso da quando la eseguo in [tex]\mathbb{Z}[/tex], altrimenti nulla avrebbe senso!
a ok capito,avevo frainteso la definizione di sottoreticolo,non avevo capito che i sup e gli inf dovevano coincidere.
quindi mi stai dicendo che ogni reticolo distributivo è isomorfo a una famiglia di insiemi dove il sup coincide con l'unione e l'inf con l'intersezione;per caso sai dove posso trovarne una dimostrazione? magari ci trovo qualche spunto per trattare la congettura.. e in ogni caso queste cose mi interessano molto
quindi mi stai dicendo che ogni reticolo distributivo è isomorfo a una famiglia di insiemi dove il sup coincide con l'unione e l'inf con l'intersezione;per caso sai dove posso trovarne una dimostrazione? magari ci trovo qualche spunto per trattare la congettura.. e in ogni caso queste cose mi interessano molto
Sì, allora, potresti guardare qui. Non sono troppo sicuro che ci sia quello che cerchi perché io non ho studiato su quel testo. Ti consiglierei il testo su cui ho studiato io, ma se non sei di Torino credo che sia pressoché irrimediabile. In ogni caso è il testo "Teoria degli Insiemi" di Davide Carlo Demaria.
Se ti interessano questi argomenti, perché non provi a cimentarti con questo esercizio veramente carino? L'ho preso dal testo che ti ho linkato.
Se ti interessano questi argomenti, perché non provi a cimentarti con questo esercizio veramente carino? L'ho preso dal testo che ti ho linkato.
grazie mille;me lo leggerò con calma..
l'esercizio lo avevo gia visto a sua tempo,avevo visto che doveva essere una figata ma sapendo poco o nulla sui reticoli lo avevo etichettato come "fuori portata"
anzi ti dirò;leggere il testo di quell'esercizio è stato l'imput che mi ha fatto interessare ai reticoli,e piu in generale agli insiemi parzialmente ordinati XD
se mi dici che non servono conoscenze particolari sulle proprietà dei reticoli per risolverlo mi cimento volentieri..
l'esercizio lo avevo gia visto a sua tempo,avevo visto che doveva essere una figata ma sapendo poco o nulla sui reticoli lo avevo etichettato come "fuori portata"
anzi ti dirò;leggere il testo di quell'esercizio è stato l'imput che mi ha fatto interessare ai reticoli,e piu in generale agli insiemi parzialmente ordinati XD
se mi dici che non servono conoscenze particolari sulle proprietà dei reticoli per risolverlo mi cimento volentieri..
No, ti giuro di no! Basta grossomodo sapere che cos'è la proprietà distributiva! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo