Insiemi di misura nulla
Ripasso da questo forum dopo molto tempo e colgo quindi l'occasione di salutare tutti.
Mi è venuta in mente la seguente questione (che una volta avrei cercato di risolvere da solo, ma tant'è...).
Sarà mica vero che ogni insieme di misura nulla è contenuto nell'unione numerabile di insiemi chiusi di misura nulla? Cioè
$$m^*(E)=0\Leftrightarrow \mbox{ esiste una famiglia numerabile }\left(C_n\right)_{n=1}^\infty\mbox{ con }C_n\mbox{ chiusi },m^*(C_n)=0\mbox{ e }E\subset\bigcup_{n=0}^\infty C_n.$$
Qui $m^*$ indica la misura esterna secondo Lebesgue.
Ovviamente mi interessano gli eventuali controesempi.
Mi è venuta in mente la seguente questione (che una volta avrei cercato di risolvere da solo, ma tant'è...).
Sarà mica vero che ogni insieme di misura nulla è contenuto nell'unione numerabile di insiemi chiusi di misura nulla? Cioè
$$m^*(E)=0\Leftrightarrow \mbox{ esiste una famiglia numerabile }\left(C_n\right)_{n=1}^\infty\mbox{ con }C_n\mbox{ chiusi },m^*(C_n)=0\mbox{ e }E\subset\bigcup_{n=0}^\infty C_n.$$
Qui $m^*$ indica la misura esterna secondo Lebesgue.
Ovviamente mi interessano gli eventuali controesempi.
Risposte
Credo di aver trovato un controesempio usando argomenti di categoria di Baire. Dunque la congettura dovrebbe essere falsa.
Il motivo recondito della domanda era sapere se i trascurabili secondo Lebesgue fossero unione numerabile di trascurabili secondo Jordan-Peano - cosa che dunque non dovrebbe essere vera.
Il motivo recondito della domanda era sapere se i trascurabili secondo Lebesgue fossero unione numerabile di trascurabili secondo Jordan-Peano - cosa che dunque non dovrebbe essere vera.
Poi ci racconti il controesempio?
1)I chiusi di misura nulla hanno parte interna vuota, quindi una loro unione numerabile è un insieme di prima categoria.
2) Si può costruire un insieme trascurabile di seconda categoria (intersecando degli aperti densi di misura infinitesima).
Dunque l'inseme del punto 2) è trascurabile, ma non può essere ricoperto da un unione numerabile di chiusi trascurabili.
2) Si può costruire un insieme trascurabile di seconda categoria (intersecando degli aperti densi di misura infinitesima).
Dunque l'inseme del punto 2) è trascurabile, ma non può essere ricoperto da un unione numerabile di chiusi trascurabili.
Capito.
D'altra parte, altrimenti, per la misura di Lebesgue varrebbe la proprietà di regolarità dall'esterno con chiusi.
D'altra parte, altrimenti, per la misura di Lebesgue varrebbe la proprietà di regolarità dall'esterno con chiusi.
"Rigel":
Capito.
D'altra parte, altrimenti, per la misura di Lebesgue varrebbe la proprietà di regolarità dall'esterno con chiusi.
Non che sia importante dato che è tutto falso, ma mi pare che la regolarità esterna con i chiusi sia più forte di quello che volevo io. Se fosse vera la regolarità esterna con i chiusi ogni trascurabile avrebbe chiusura trascurabile (intersecando chiusi di misura infinitesima). O forse mi sfugge qualcosa.
Però, come dicevo, non è molto importante....
Boh, forse hai ragione (ragionando sulle cose false è facile sbagliarsi).
Il claim (falso) iniziale, se non sbaglio, è: se \(E\) ha misura nulla allora esiste \(F\in \mathcal{F}_\sigma\) di misura nulla tale che \(E\subseteq F\).
Mi sembrava che questo fosse equivalente alla regolarità esterna con chiusi, ma forse mi sbaglio.
Il claim (falso) iniziale, se non sbaglio, è: se \(E\) ha misura nulla allora esiste \(F\in \mathcal{F}_\sigma\) di misura nulla tale che \(E\subseteq F\).
Mi sembrava che questo fosse equivalente alla regolarità esterna con chiusi, ma forse mi sbaglio.
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