Insiemi compatti

[fu^2]

Un esercizio carino, in cui per risolverlo serve un'idea carina.
Indirizzato a chi sta facendo analisi I o corsi di topologia (per uno del primo anno questo esercizio lo reputo difficile, per uno del quarto tutto sommato tranquillo ), questo esercizio fornisce qualche esempio di inisiemi compatti in spazi di Banach a dimensione infinita, che "come sappiamo" non sono così facili da trovare

(possiedo la soluzione fatta da me)

"Consideriamo lo spazio [tex]l^2(N)=\left\{x=(x_1,x_2,x_3,...) \mid \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^2<+\infty\right\}[/tex] con la norma [tex]\mid\mid x\mid\mid=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^2<+\infty\right)^{\frac{1}{2}}[/tex]

(Si può dimostrare che questo spazio - lo spazio di tutte le successioni a valori reali per cui la serie dei quadrati converge - è uno spazio di Hilbert)

e una successione a termini positivi [tex]\alpha_n[/tex] tale che [tex]\alpha_n\to 0[/tex].

Posto [tex]D_{\alpha}=\left\{x\in l^2(N) \mid |x_i|\leq\alpha_i\right\}[/tex] vi chiedo di trovare le condizioni necessarie e sufficienti affinchè [tex]D_{\alpha}[/tex] sia compatto."

hint:

Considerare per prima cosa un esempio, per esempio il caso in cui $\alpha_n=1/n$

Domanda Bonus (questa è di un livello più alto rispetto al quesito precedente):
se invece ora consideriamo lo spazio [tex]l^p(N)=\left\{x=(x_1,x_2,x_3,...) \mid \displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^p<+\infty\right\}[/tex] con la norma [tex]\mid\mid x\mid\mid=\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{+\infty} |x_i|^p<+\infty\right)^{\frac{1}{p}}[/tex] dove $p>=1$.

(Si può dimostrare che questo spazioè uno spazio di Banach).

e una successione a termini positivi [tex]\alpha_n[/tex] tale che [tex]\alpha_n\to 0[/tex].

Posto [tex]D_{\alpha}=\left\{x\in l^p(N) \mid |x_i|\leq\alpha_i\right\}[/tex] , sotto quali condizioni [tex]D_{\alpha}[/tex] è compatto (ammesso, ma non concesso, che ne esistano)?"

[dissonance]

Provo ad affrontare direttamente il caso generale (almeno, per [tex]1 < p < \infty[/tex]). Indico con [tex]p'[/tex] il coniugato armonico di [tex]p[/tex]. Nel seguito faccio uso della riflessività di [tex]\ell^p[/tex] e del teorema di rappresentazione di Riesz: [tex][\ell^{p}]'\equiv \ell^{p'}[/tex].

Secondo me, condizione necessaria e sufficiente affinché [tex]D_\alpha[/tex] sia compatto è che [tex](\alpha_i)_{i \in \mathbb{N}}[/tex] sia in [tex]\ell^p[/tex].

La condizione è necessaria perché se [tex]\sum\alpha_i^p=\infty[/tex] allora [tex]D_\alpha[/tex] non è limitato, dal momento che contiene la successione non limitata

[tex]y^{(n)}=(\alpha_1, \alpha_2 \ldots \alpha_n, 0, 0, \ldots ).[/tex]

La condizione è anche sufficiente. Difatti sia [tex](x^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}[/tex] una successione in [tex]D_\alpha[/tex]. Dal fatto che [tex]\lvert x^{(n)}_i \rvert \le \alpha_i[/tex] segue che

[tex]\sum_i \big\lvert x_i^{(n)} \big\rvert^p \le \lVert \alpha \rVert_p^p < \infty[/tex];

dunque [tex](x^{(n)})[/tex] è una successione limitata e ha, pertanto, una estratta debolmente convergente. Con abuso di notazione continuiamo a chiamare [tex]x^{(n)}[/tex] questa estratta. In particolare, per ogni [tex]i[/tex] fissato, la successione [tex]x_i^{(n)}[/tex] è convergente: infatti

[tex]x_i^{(n)}=\langle e_i, x^{(n)}\rangle;[/tex]

dove

[tex]e_i=(\underbrace{0, 0, \ldots, 0, 1}_{i\ \text{posti}}, 0, \ldots) \in \ell^{p'}\equiv [\ell^{p}]'[/tex].

Sia [tex]x_i=\lim_{n\to \infty} x^{(n)}_i[/tex]. E' chiaro che [tex]x\in D_\alpha[/tex]. Inoltre, per il teorema della convergenza dominata, [tex]\lVert x^{(n)}-x\rVert_p^p \to 0[/tex]: infatti è

[tex]\lvert x^{(n)}_i - x_i \rvert^p \le 2^{p-1}\alpha_i^p[/tex].

Concludiamo che [tex]x^{(n)}[/tex] converge ad [tex]x[/tex] nel senso di [tex]\ell^p[/tex]. Dall'arbitrarietà di [tex](x^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}[/tex], [tex]D_\alpha[/tex] è compatto.

__________

Questa dimostrazione fa uso di concetti inutilmente avanzati per il contesto degli spazi [tex]\ell^p[/tex]: la riflessività e il teorema di convergenza dominata si possono - credo - bypassare con ragionamenti diretti, e se nessuno ha voglia di provarci magari vedrò di farlo io. Il vantaggio di questo approcciò però è la possibilità di una generalizzazione a spazi [tex]L^p(M, \mu)[/tex], dove [tex](M, \mu)[/tex] è uno spazio di misura [tex]\sigma[/tex]-finito.

P.S.: Naturalmente, a meno di errori miei!

P.P.S.: Resta escluso il caso [tex]p=1[/tex]. Credo che il risultato sia ugualmente valido, ma ci devo riflettere. La tecnica precedente non si può applicare più...

[fu^2]

a colpo d'occhio sembrerebbe andare bene
domani (causa parenti a cena imminenti) la leggo con calma e ti "commento" ehehe

Ps per il caso $p=2$ quantomeno si può buttare via tutto e non usare questi cannoni ...
Nel caso generale devo capire dei dettagli, io ho usato un'altra strada...

[gugo82]

Mmmm...

La condizione trovata da dissonace garantisce, praticamente, che il prodotto topologico [tex]$X:=\prod_{k=1}^{+\infty} [-\alpha_k ,\alpha_k]$[/tex] (ogni intervallo dotato della topologia indotta da [tex]$\mathbb{R}$[/tex]) sia riguardabile come sottoinsieme (e sottospazio topologico) di [tex]$\ell^p$[/tex]: infatti se [tex]$\lVert \alpha \rVert_p =+\infty$[/tex], allora è è possibile trovare un elemento in [tex]$X$[/tex] che non sta in [tex]$\ell^p$[/tex].

Ma allora, una volta stabilito che [tex]$X\subseteq \ell^p$[/tex], la compattezza di [tex]$X$[/tex] è conseguenza immediata del teorema di Tychonoff (i.e.: "Il prodotto di una qualsiasi famiglia di spazi topologici compatti è uno spazio topologico compatto"), o sbaglio?

[dissonance]

Ecco il caso [tex]p=1[/tex].

Anche stavolta la condizione [tex](\alpha_i)_{i \in \mathbb{N}} \in \ell^1[/tex] è necessaria, per lo stesso motivo del post precedente. Mostriamo che essa è sufficiente.

Sia [tex](x^{(n)}_i)_{i \in \mathbb{N}} \in D_\alpha[/tex]. Per ogni [tex]i[/tex] è [tex]\lvert x^{(n)}_i \rvert \le \alpha_i[/tex], per cui la successione [tex](x^{(n)}_i)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] è limitata e in particolare ha una estratta convergente. Prendiamo in sequenza estratte convergenti:

[tex]\begin{matrix}
x_1^{k_1(1)} & x_1^{k_1(2)} & x_1^{k_1(3)} & \ldots & \to x_1 \\
x_2^{k_2(1)} & x_2^{k_2(2)} & x_2^{k_2(3)} & \ldots & \to x_2 \\
x_3^{k_3(1)} & x_3^{k_3(2)} & x_3^{k_3(3)} & \ldots & \to x_2 \\
\vdots &&&& \\
\end{matrix}[/tex]

in modo tale che [tex](x^{k_i(n)})_{n\in \mathbb{N}}[/tex] sia estratta da [tex](x^{k_{i-1}(n)})_{n\in \mathbb{N}}[/tex]. Chiaramente [tex]\lvert x_i \rvert \le \alpha_i[/tex], cosicché [tex]x=(x_i)_{i \in \mathbb{N}}[/tex] è elemento di [tex]\ell^1[/tex].

Affermiamo che, posto

[tex]y_i^{(n)}:=x_i^{k_i(n)},[/tex]

risulta che [tex]\lVert y^{(n)} - x \rVert_1 \to 0[/tex]. E questa è chiaramente faccenda di convergenza dominata. Comunque, volendolo dimostrare direttamente, fissiamo [tex]\varepsilon[/tex] e scegliamo [tex]N[/tex] abbastanza grande perché [tex]\sum_{i > N} \alpha_i < \varepsilon[/tex]. Allora

[tex]\left(\sum_{i=1}^N + \sum_{i > N}\right)\left\lvert y_i^{(n)}-x_i \right\rvert \le \left( \sum_{i=1}^N \left\lvert y_i^{(n)} - x_i \right\rvert \right) + 2\varepsilon;[/tex]

Facendo tendere [tex]n[/tex] ad infinito si ottiene la tesi.

__________
Direi anche che questa dimostrazione, con ovvie modifiche, si applica anche al caso di [tex]\ell^p[/tex] per ogni [tex]1 \le p < \infty[/tex], risolvendo quindi il problema dell'uso non necessario di strumenti avanzati del mio post precedente. Il prossimo problema di cui vorrei occuparmi adesso è la generalizzazione di questo risultato a spazi [tex]L^p(M, \mu)[/tex].

[dissonance]

@Gugo: E' molto interessante quanto dici, ma purtroppo non capisco bene. Fissiamo un po' il linguaggio. Il teorema di Tychonoff ci dà un risultato di compattezza nello spazio topologico prodotto [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \ldots = \mathbb{R}^\omega[/tex], che intendo come lo spazio delle successioni di numeri reali dotato della topologia generata da

[tex]$ \left\{ \prod_{i=1}^\infty U_i \mid U_i\subset \mathbb{R}\ \text{aperto},\ U_i=\mathbb{R}\ \text{per quasi ogni indice}\ i\right\}.[/tex]

Questa topologia e le topologie [tex]\ell^p[/tex] sono diverse, questa è essenzialmente la topologia della convergenza puntuale, come puoi riguardare [tex]X \subset \mathbb{R}^\omega[/tex] come sottoinsieme di [tex]\ell^p[/tex]?

[dissonance]

Stasera - mentre ero ad un concerto - mi è improvvisamente venuta una idea riguardo questo punto:

"dissonance": Il prossimo problema di cui vorrei occuparmi adesso è la generalizzazione di questo risultato a spazi [tex]L^p(M, \mu)[/tex].

Una generalizzazione sic et simpliciter non si può fare.

[EDIT] In effetti questo esempio è un po' fuorviante perché [tex]1 \notin L^2(\mathbb{R})[/tex]. Il "vero" controesempio è il successivo.

Per esempio, il sottoinsieme di [tex]L^2(\mathbb{R})[/tex]

[tex]$D_1=\{f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}\ \text{misurabile} \mid \lvert f(x) \rvert \le 1 \}[/tex];

non è compatto. E questo si vede subito considerando la successione [tex]\chi_n[/tex] delle funzioni caratteristiche degli intervalli [tex][n, n+1][/tex]: la [tex]\chi_n[/tex] è ortonormale, quindi [tex]\chi_n \rightharpoonup 0[/tex] e [tex]\lVert \chi_n \rVert_2=1[/tex] per ogni [tex]n[/tex], il che esclude possa esistere una estratta convergente.[/list:u:q8bg1whl]
[/edit]

Esempi simili si possono costruire anche in spazi di misura finita: ad esempio,

[tex]$D_1'=\{f \colon [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}\ \text{misurabile} \mid \lvert f(x) \rvert \le 1\}\subset L^2\big( [-\pi, \pi] \big)[/tex],

non è compatto perché contiene la successione ortonormale [tex](\sin(nx))_{n \ge 1}[/tex].

Io credo, quindi, che la proposizione oggetto di questo thread sia caratteristica degli spazi di successioni e che dipenda fortemente dalla struttura intrinseca di questi ultimi. Forse una spiegazione topologica di questo fenomeno potrà arrivare dall'osservazione di Gugo.

[fu^2]

beh negli spazi $L^p$ per la compattezza forte, come viene fuori dal teorema di (Riesz?) - Frèchet - Kolmogorov (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or ... Kolmogorov ), hai bisogno oltre che della limitatezza del tuo insime, anche dell'equintegrabilità cosa non assicurata se metti semplicemente una limitazione con una funzione integrabile come hai fatto te (nel secondo caso).

Questa cosa negli spazi di successioni non avviene... (a meno di saper definire un analogo dell'equi continuità - integrabilità)

Riporto la mia dimostrazione del punto uno. Il punto due scrivo come si modifica in "ovvio" modo in quanto uso un procedimento diverso da dissonance il quale disse "Questa dimostrazione fa uso di concetti inutilmente avanzati per il contesto degli spazi $l^p$: la riflessività e il teorema di convergenza dominata si possono - credo - bypassare con ragionamenti diretti"

Dal momento che l'isieme $D$ è chiuso, far vedere che è compatto equivale (siamo in spazi metrici) a far vedere che è totalmente limitato.

Poniamo $C^2=\sum |\alpha_i|^2$.

Alcune considerazioni: sia $N>0$ fissato, allora l'operatore $T(x)=x|_N$ è continuo (dove $x=(x_1,x_2,...)$ mentre $x|_N=(x_1,...,x_N,0,...)$ è la troncata $N$- esima) e ha rango finito (e dunque è compatto). Infatti $Im(T)=\{(x_1,...,x_N,0,...)\}$ e quest'ultimo è isomorfo ad $RR^N$ (nel resto della dimostrazione identificheremo sistematicamente questi due spazi), in particolare ha dimensione finita.(**)

Dunque essendo l'isieme $D$ limitato, dato $\epsilon>0$ esistono $x^1,...,x^k\in RR^N$ tali che $T(D)\subset \cup_{i=1}^k B(x^i, \epsilon/2)$, cioè dato $x\in D$ esiste $x^j=(x_1^j,...,x_N^j,0...)$ tale che $||x|_N-x^j||<\epsilon/2$.

Conclusione: dal momento che se $x\in D$ vale che $||x-x|_N||^2\leq \sum_{i>N}|\alpha_i|^2\to 0$, esiste $N>0$ tale che $||x-x|_N||<\epsilon/2$ e dunque, data $x\in D$ si ha che $||x-x^j||<=||x|_N-x^j||+||x|_N-x||<\epsilon$ per un opportuna scenlta dell'indice $j$.

Da cui segue che $D\subset \cup_{i=1}^k B(x^j,\epsilon)$.


Oss: la conzione è anche necessaria, in quanto se non vale $D$ non è limitato.

CASO $p$ generico (ma $p<+\infty$): basta sostituirlo al $2$ e segue ugualemnte la tesi. Bisogna mettere qualche dettaglio in più nel passaggio (**), da cui si esce comunque facilmente.

[fu^2]

e comunque mi sono dimentyicato... ottima soluzione dissonance!!

[dissonance]

Certo, Riesz-Fréchet-Kolmogorov! Hai ragione fu, se si vuole generalizzare a [tex]\mathbb{R}^n[/tex] si deve passare di là.

Comunque, bella dimostrazione la tua. Ottima idea passare dalla teoria degli operatori compatti: in questo modo, fai essenzialmente questo lavoro ma "in automatico", senza sporcarti troppo le mani con l'estrarre successioni.

Grazie per avere proposto questo problema, ieri pomeriggio mi ci sono molto appassionato.