Il teorema di Weierstrass generalizzato
Definizione. Se \(E\) è uno spazio topologico, \(F: E \to \mathbb{R}\) si dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) se \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\) l'insieme \[\{x \in E \, : \, F(x) \le \lambda \}\] è chiuso in \(E\).
Problema (Teorema di Weierstrass). Mostrare che se \(E\) spazio topologico, \(F: E \to \mathbb{R}\) s.c.i. e \(K\) compatto, allora \(F\) ammette minimo in \(K\). Dove si usa l'ipotesi di compattezza di \(K\)? Quest'ipotesi può essere in qualche modo "indebolita"?
Problema (Teorema di Weierstrass). Mostrare che se \(E\) spazio topologico, \(F: E \to \mathbb{R}\) s.c.i. e \(K\) compatto, allora \(F\) ammette minimo in \(K\). Dove si usa l'ipotesi di compattezza di \(K\)? Quest'ipotesi può essere in qualche modo "indebolita"?
Risposte
Diamo per nota la seguente proprietà degli spazi topologici: dato uno spazio topologico $E$, se $\{K_n\}_n$ è una successione decrescente ($K_n\supseteq K_{n+1}$) di sottoinsiemi compatti di $E$, si ha che
\[
\bigcap_{n=1}^{+\infty} K_n=\varnothing
\]
se e solo se esiste $n_0\in \mathbb{N}$ tale che $K_{n_0}$ è vuoto.
Ora, sapendo che $F$ è s.c.i., dimostriamo che $F:K\to \mathbb{R}$ con $K$ compatto ammette minimo. Osserviamo innanzitutto che $F(K)$ è inferiormente limitato, infatti ponendo $K_n=\{x\in K:F(x)\leq -n\}$, si ha che $K_n$ è compatto per ogni $n\in\mathbb{N}$ (in quanto sottoinsieme chiuso del compatto $K$), $K_n\supseteq K_{n+1}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e
\[
\bigcap_{n=1}^{+\infty} K_n=\varnothing
\]
(infatti non può esistere $x\in K$ tale che $F(x)\leq -n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$). In altre parole deve esistere $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $K_{n_0}$ è vuoto, da cui segue che $F(x)> -n_0$ per ogni $x\in K$.
Finora abbiamo usato la compattezza di $K$ per mostrare che $K_n$ è compatto per ogni $n\in \mathbb{N}$.
Sia $l$ l'estremo inferiore dell'insieme $\{F(x):x\in K\}$, e supponiamo per assurdo che $F(x)>l$ per ogni $x\in K$, (vale a dire $F$ non assume minimo). Come sopra, i sottoinsiemi di $K$
\[
K_n=\{x\in K: F(x)\leq l+1/n\}
\]
sono compatti, formano una successione decrescente e la loro intersezione è vuota, infatti dato un qualunque punto $x\in K$, essendo $F(x)>l$ deve esistere $m\in \mathbb{N}$ tale che $l l+1/{n_0}$ per ogni $x\in K$, ma questo è assurdo poiché $l$ era l'estremo inferiore.
Abbiamo riutilizzato la compattezza di $K$ per mostrare come sopra che $K_n$ è una successione di sottoinsiemi compatti di $K$.
\[
\bigcap_{n=1}^{+\infty} K_n=\varnothing
\]
se e solo se esiste $n_0\in \mathbb{N}$ tale che $K_{n_0}$ è vuoto.
Ora, sapendo che $F$ è s.c.i., dimostriamo che $F:K\to \mathbb{R}$ con $K$ compatto ammette minimo. Osserviamo innanzitutto che $F(K)$ è inferiormente limitato, infatti ponendo $K_n=\{x\in K:F(x)\leq -n\}$, si ha che $K_n$ è compatto per ogni $n\in\mathbb{N}$ (in quanto sottoinsieme chiuso del compatto $K$), $K_n\supseteq K_{n+1}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ e
\[
\bigcap_{n=1}^{+\infty} K_n=\varnothing
\]
(infatti non può esistere $x\in K$ tale che $F(x)\leq -n$ per ogni $n\in\mathbb{N}$). In altre parole deve esistere $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $K_{n_0}$ è vuoto, da cui segue che $F(x)> -n_0$ per ogni $x\in K$.
Finora abbiamo usato la compattezza di $K$ per mostrare che $K_n$ è compatto per ogni $n\in \mathbb{N}$.
Sia $l$ l'estremo inferiore dell'insieme $\{F(x):x\in K\}$, e supponiamo per assurdo che $F(x)>l$ per ogni $x\in K$, (vale a dire $F$ non assume minimo). Come sopra, i sottoinsiemi di $K$
\[
K_n=\{x\in K: F(x)\leq l+1/n\}
\]
sono compatti, formano una successione decrescente e la loro intersezione è vuota, infatti dato un qualunque punto $x\in K$, essendo $F(x)>l$ deve esistere $m\in \mathbb{N}$ tale che $l
Abbiamo riutilizzato la compattezza di $K$ per mostrare come sopra che $K_n$ è una successione di sottoinsiemi compatti di $K$.
Direi di sì.
"Delirium":
Definizione. Se \(E\) è uno spazio topologico, \(F: E \to \mathbb{R}\) si dice semicontinua inferiormente (s.c.i.) se \(\forall \lambda \in \mathbb{R}\) l'insieme \[\{x \in E \, : \, F(x) \le \lambda \}\] è chiuso in \(E\).
Problema (Teorema di Weierstrass). Mostrare che se \(E\) spazio topologico, \(F: E \to \mathbb{R}\) s.c.i. e \(K\) compatto, allora \(F\) ammette minimo in \(K\). Dove si usa l'ipotesi di compattezza di \(K\)? Quest'ipotesi può essere in qualche modo "indebolita"?
Un indebolimento classico è il "teorema di Weierstrass generalizzato".
La versione in R ci dice che se K è chiuso e sappiamo che la F all'infinito se ne va a + infinito, la F (s.c.i.) ha minimo.
'Sta roba si estende in modo iperbanale agli spazi normati e parenti vari. Ma se stiamo lavorando su uno spazio topologico, mica possiamo ignorare il fatto che "mandare la x all'infinito" potrebbe avere ben poco senso.
In questo contesto generale ci possiamo magari "accontentare" di un indebolimento dell'ipotesi di compattezza per K che può sembrare a prima vista ridicolo, ma che poi di fatto lo è un bel po' meno. Non ridere, ma basta poter affermare che c'è almeno un "insieme di sottolivello" compatto (tra quelli non vuoti, eh!). Notare però che fitta bene con la s.c.i. Che non sia un caso?
Su "dove si usa l'ipotesi di compattezza", beh la risposta è: "dipende"... Dipende dalla dimostrazione che si usa.
Vorrei anche aggiungere: ammesso che sia questa l'interpretazione corretta della domanda. La risposta più incisiva (ma non direi che fosse questa l'intenzione di chi ha fatto la domanda) è ovviamente fare uno dei tanti banali "controesempi" che si hanno quando si cassa l'ipotesi di compattezza.
Insomma: una ipotesi in un teorema (che ha, come questo, la classica struttura di "implicazione") normalmente è:
- essenziale nell'enunciato [si mostra con controesempi che non può essere "cancellata"]
- spunta fuori da qualche parte nella dimostrazione [e qui, o uno ha capito la dimostrazione e allora non può non vedere dove si usa, oppure...]. Questo vale per ogni dimostrazione che si sia scelto
Né il primo né il secondo punto ci impediscono di cercare di "indebolire" l'ipotesi. In effetti l'abbiamo fatto poco sopra...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo