Il nucleo del limite delle proiezioni - own

[Gabriel6]

Qui si è mostrato che, in uno spazio di Banach $(X,||\cdot||)$ reale (risp., complesso), ogni volta che una successione $\{P_n\}_{n \in NN} \subseteq \mathcal{L}(X)$ di proiezioni converge (nella norma operatoriale) a un qualche $P \in \mathcal{L}(X)$, avviene che necessariamente $P$ è essa stessa una proiezione $X \to X$. Qui come di consueto, $\mathcal{L}(X)$ è lo spazio di Banach reale (risp., complesso) degli operatori continui $X \to X$, con la norma operatoriale $||\cdot||_{op}: \mathcal{L}(X) \to RR: T \to \mbox{sup}_{||x||=1} \{||Tx||\}$. Ebbene ...

Problema 1: provare che $\mbox{ker}(P) = \lim_{n \to \infty} \cap_{k=n}^\infty \mbox{ker}(P_k)$.

Problema 2: esibire l'esempio di una successione definitivamente non costante $\{P_n\}_{n \in NN} \subseteq \mathcal{L}(X)$ di proiezioni per cui esiste il limite operatoriale $\lim_{n \to \infty} P_n = P \in \mathcal{L}(X)$ e $\mbox{ker}(P) \ne \{0\}$.

N.B.: dato un certo universo $U$ e una successione $\{X_n\}_{n \in NN}$ di sottoinsiemi di $U$, scriviamo che $\lim_{n \to \infty} X_n = X \subseteq U$ sse, definitivamente, ogni $x \in X$ appartiene ad $X_n$ e per ogni $x \in U$ \ $X$, esiste $v \in NN$ tale che $x \notin X_n$, se $n \in NN \cap $($v,+\infty$[.

EDIT: un pedice da mettere a posto.

[alberto861]

1) chiaramente se $x$ sta nel nucleo di ogni $P_n$ sta anche in quello di $P(x)$ perchè $P(x)$ è limite di una successione nulla..

[Gabriel6]

"alberto86":1) chiaramente se $x$ sta nel nucleo di ogni $P_n$ sta anche in quello di $P(x)$ perchè $P(x)$ è limite di una successione nulla..

... ineccepibile. Soltanto che così non dimostri l'uguaglianza, ma semplicemente che il kernel di $P$ contiene - se esiste - il limite $\lim_{n \to \infty} \cap_{k=n}^\infty \mbox{ker}(P_k)$.

[alberto861]

fisso n sia poi $x \in \ker(P)$ sia $h\in N$ t.c. $||P_n-P_h|| $||P_n(x)||<||P_n(x)-P_h(x)||+||P_h(x)-P_t(x)||+||P_t(x)-P(x)||<||P_n(x)-P_h(x)-P(x)||+||P_h(x)-P_t(x)-P(x)||+||P_t(x)-P(x)||

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[Gabriel6]

"alberto86":[...] per ogni t vale $||P_t(x)^2-P(x)^2||<||P_t(x)-P(x)||^2$ [...]

La domanda è scontata: "Perché?"

[alberto861]

$||(P_n-P)||^2=||P_n^2+P^2-[P_n,P]||>||P_n^2+P^2||-||[P_n,P]||$$ ora x sta nel nucleo quindi $[P_n,P]=0$ e inoltre
$||P_n^2+P^2||>||P_n^2-P^2||$

[alberto861]

volevo scrivere che x sta nel nucleo di P per cui $[P_n,P](x)=0$

[Gabriel6]

"alberto86":$||(P_n-P)||^2=||P_n^2+P^2-[P_n,P]||>||P_n^2+P^2||-||[P_n,P]||$ ora $x$ sta nel nucleo quindi $[P_n,P]=0$ e inoltre $||P_n^2+P^2||>||P_n^2-P^2||$

... sarò ottuso, ma continuo a non capire. Quando scrivi $||(P_n-P)||^2=||P_n^2+P^2-[P_n,P]||$, immagino che, in verità, (sott)intenda $||(P_n-P)(x)||^2=||P_n^2(x)+P^2(x)-[P_n,P](x)||$. Ossia $||P_n(x)||^2 = ||P_n^2(x)||$, visto che $P(x) = P^2(x) = [P_n,P](x) = 0$. Giusto? In tal caso, non vedo spiegato perché mai l'uguaglianza debba essere vera.

[alberto861]

forse avrei dovuto essere più preciso e mettere le norme giuste..dal coomutatore nullo segue $||P_n(x)-P(x)||=||P_n^2(x)-P^2(x)||<||(P_n-P)^2(x)||_X=||(P_n-P)(P_n-P) (x)||_X<||(P_n-P)||_{L(X)}||(P_n-P)(x)||<(||P_n-P||_{L(X)})^2$, iterando il ragionamento sulle potenze di due $||P_n(x)-P(x)||=||P_n^{2^m}(x)-P^{2^m}||<)||<(||P_n-P||_{L(X)})^2m$

[Gabriel6]

"alberto86":forse avrei dovuto essere più preciso e mettere le norme giuste..dal coomutatore nullo segue $||P_n(x)-P(x)||=||P_n^2(x)-P^2(x)||<||(P_n-P)^2(x)||_X=||(P_n-P)(P_n-P) (x)||_X<||(P_n-P)||_{L(X)}||(P_n-P)(x)||<||P_n-P||_{L(X)}^2$, iterando il ragionamento sulle potenze di due $||P_n(x)-P(x)||=||P_n^{2^m}(x)-P^{2^m}||<)||<(||P_n-P||_{L(X)})^{2m}$

Non si tratta unicamente di ovviare alle ambiguità notazionali, indicando in modo preciso - i.e., come la buona matematica pretende - le norme cui si riferiscono i singoli passaggi. Infatti, c'è di più che, se fosse mai vero quanto scrivi, avresti appena dimostrato che, per ogni $n \in NN$ tale che $||P_n - P||_{op} < 1$: $\mbox{ker}(P) \subseteq \mbox{ker}(P_n)$. Ti pare plausibile? Mi secca persino, a questo punto, segnalarti dove difetta il tuo ragionamento, visto che non ti sei dato minima pena di rispondere alle domande di chiarimento che, di caso in caso, ti ho rivolto fino a qui. Vorrei, tuttavia, notassi che, prima di imbarcarti in qualunque genere di dimostrazione, sarebbe comunque necessario provare che il limite $\lim_{n \to \infty} \cap_{k=n}^\infty \mbox{ker}(P_k)$ esiste (nel senso specificato in capo al thread). Diversamente tutto il resto è solo nuvole di fumo.

[Thomas16]

Provo a fare una inclusione del primo, senza curarmi di dimostrare l'esistenza del limite...

$\supseteq$

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Osservazioni pesudo-inutili, le faccio che magari sono utili per l'altra inclusione.

Chiamando $K_n=\cap_{i=n}^{infty}Ker(P_i)$, si ha che $K_n\subseteqK_m$ se $n
Da questo segue: definitivamente $x\inK_n$$<=>$esiste m per cui $x \in K_m$.
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In ogni caso, se x appartiene al momebro destro, sta definitivamente in $K_n$ ed in particolare (basta questo per ora) in un $K_m$, e quindi possiamo supporre WLOG a meno di cambiare successione di operatori che $P_k(x)=0$ per ogni $k$. A questo punto:

$||P(x)||=||(P-P_k)(x)+P_k(x)||<=||P-P_k||*||x||+||P_k(x)||=||P-P_k||*||x||$

valida per ogni $k$. mandando al limite per k che tende ad infinito, si avrà che: $||P(x)||=0$, da cui $P(x)=0$.

L'altra inclusione immagino sia più difficile, e che si dovrà utilizzare il fatto che $P_k$ sono dei proiettori. Quanto sopra è valido per qualsiasi sequenza di operatori mi pare..

[Thomas16]

Faccio anche l'altra inclusione:

$\subseteq$

Prendiamo x nel membro sinistro.
Noi sappiamo che dato un $\epsilon$ (che ci basterà essere minore di 1!) vale definitivamente che:

$||P_k(x)||<=\epsilon*||x||$ [1]

con x che sta nel kernel di P.
Questo segue dalla definizione di limite di operatori.

Inserisco nella [1] $x=P(x)$ (che appartiene ancora al kernel di P!), ottenendo:

$||P_k(x)||=||P_k^2(x)||<=\epsilon||P(x)||<=(\epsilon)^2||x||$

dove la prima uguaglianza è perchè $P_k$ è un proiettore, mentre l'ultima dis è vera per la [1].

Iterando si possono ottenere potenze di $\epsilon$ sempre più grandi, da cui definitivamente $||P_k(x)||=0$, ovvero $P_k(x)=0$.

Questo basta per dire che x appartiene al secondo membro (supposto ben definito, eh!), per l'osservazione fatta all'inizio del post precedente,

[Thomas16]

concludo osservando che per vedere che quell'insieme è ben definito si deve mostrare che lim inf$(K_n)$=lim sup$(K_n)$, che dovrebbe essere equivalente anche alla tua def di convergenza.

Questo sugue banalmente dall'osservazione del primo post. Se x compare frequentemente, vi compare anche definitivamente, dando l'inclusione voluta, ovvero che il lim sup è incluso nel lim inf. L'altra inclusione è vera sempre da cui l'uguaglianza!

Ora a voi guardare quanto è corretto quel che ho scritto