Il criterio di affinità e altre amenità

[maurer]

Apro questo thread sulla scia di quest'altro, mantenendone inalterate le finalità. Non posto là semplicemente perché parlerò di schemi, ma non di schemi integri. Inizio con un esercizio, poi ne aggiungerò altri in futuro.

[size=150]Il criterio di affinità[/size]

Definizione. Sia [tex](X,\mathscr O_X)[/tex] uno schema e sia [tex]A := \Gamma(X,\mathscr O_X)[/tex]. Per ogni [tex]f \in A[/tex] si definisca [tex]X_f := \{x \in X \mid [f]_x \not \in \mathfrak m_x\}[/tex].

Esercizio 1. [list=1]
[*:8yj08jz2] Mostrare che [tex]X_f[/tex] è aperto in [tex]X[/tex];[/*:m:8yj08jz2]
[*:8yj08jz2] Mostrare che se [tex]X[/tex] può essere ricoperto da un numero finito di aperti affini [tex]\{U_i\}_{i = 1}^n[/tex] tali che ogni [tex]U_i \cap U_j[/tex] sia quasi compatto, allora [tex]\Gamma(X_f, \mathscr O_{X_f}) \simeq A[f^{-1}][/tex];[/*:m:8yj08jz2]
[*:8yj08jz2] Criterio di affinità. Mostrare che [tex]X[/tex] è affine se e solo se esistono [tex]f_1,\ldots, f_n \in A[/tex] tali che ogni [tex]X_{f_i}[/tex] sia affine ed inoltre [tex](f_1,\ldots,f_n) = (1)[/tex] (come ideali in [tex]A[/tex]).[/*:m:8yj08jz2][/list:o:8yj08jz2]

Ricordiamo che un morfismo dello schema [tex](X,\mathscr O_X)[/tex] nello schema [tex](Y,\mathscr O_Y)[/tex] è una coppia [tex](f,f^\sharp)[/tex] dove [tex]f \colon X \to Y[/tex] è un'applicazione continua di spazi topologici e [tex]f^\sharp \colon \mathscr O_Y \to f_* \mathscr O_X[/tex] è un morfismo di fasci, tale che per ogni [tex]x \in X[/tex], posto [tex]y = f(x)[/tex], il morfismo indotto [tex]f^\sharp_y \colon \mathscr O_{Y,y} \to \mathscr O_{X,x}[/tex] sia un morfismo di anelli locali (ossia la contrazione dell'ideale massimale di [tex]\mathscr O_{X,x}[/tex] è l'ideale massimale di [tex]\mathscr O_{Y,y}[/tex]. Per abuso di notazione denoteremo un morfismo di schemi con la notazione [tex]f \colon X \to Y[/tex].

Morfismi affini. Sia [tex]f \colon X \to Y[/tex] un morfismo di schemi. Diciamo che [tex]f[/tex] è un morfismo affine se esiste un ricoprimento aperto affine [tex]\{U_i = \text{Spec}(A_i)\}_{i \in I}[/tex] di [tex]Y[/tex] tale che [tex]f^{-1}(U_i)[/tex] sia un aperto affine di [tex]X[/tex].

Usando il criterio di affinità dimostrato sopra, provate la seguente:

Proposizione. Un morfismo di schemi [tex]f \colon X \to Y[/tex] è affine se e solo se per ogni aperto affine [tex]U = \text{Spec}(A) \subset Y[/tex], [tex]f^{-1}(U)[/tex] è un aperto affine di [tex]X[/tex].

[size=150]Sulla finita presentazione.[/size]

Ricordiamo che un morfismo di anelli [tex]\varphi \colon A \to B[/tex] è detto di presentazione finita se è possibile trovare una mappa suriettiva [tex]A^n \to B[/tex] tale che il suo nucleo sia finitamente generato. Equivalentemente, [tex]B[/tex] è finitamente presentato come [tex]A[/tex]-modulo se esiste una successione esatta corta [tex]A^m \to A^n \to B \to 0[/tex].

Esercizio 2. Dimostrate che se [tex]B[/tex] è finitamente presentato, allora per ogni mappa suriettiva [tex]\alpha \colon A^k \to B[/tex], [tex]\ker \alpha[/tex] è finitamente generato.

Morfismi finitamente presentati. Un morfismo di schemi [tex]f \colon X \to Y[/tex] è detto di presentazione finita se esiste un ricoprimento affine [tex]\{U_i = \text{Spec}(A_i)\}_{i \in I}[/tex] tale che [tex]f^{-1}(U_i) = \text{Spec}(B_i)[/tex] sia affine per ogni [tex]i \in I[/tex] e [tex]B_i[/tex] sia di presentazione finita come [tex]A_i[/tex]-modulo.

Proposizione. Un morfismo di schemi [tex]f \colon X \to Y[/tex] è di presentazione finita se e solo se per ogni aperto affine [tex]U = \text{Spec}(A) \subset Y[/tex], [tex]f^{-1}(U)[/tex] è affine, [tex]f^{-1}(U) = \text{Spec}(B)[/tex], con [tex]B[/tex] di presentazione finita come [tex]A[/tex]-modulo.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

E' troppo tempo che non faccio geometria algebrica tecnica, e affrontare gli esercizi avendo dimenticato la teoria non è una grande idea, quindi mi sono andato a guardare le note di Harari. In particolare, ciò che segue non è farina del mio sacco.

"maurer":

Mostrare che [tex]X_f[/tex] è aperto in [tex]X[/tex];

Sia [tex]x \in X_f[/tex]. Poiché [tex]\mathcal{O}_{X,x} = \lim_{X \supset U \ni x} \mathcal{O}_X(U)[/tex], esistono [tex]U[/tex] aperto di [tex]X[/tex] e [tex]g \in \mathcal{O}_X(U)[/tex] tali che [tex]g \cdot f|_U = 1[/tex], per cui [tex]U \subseteq X_f[/tex].

Mostrare che se [tex]X[/tex] può essere ricoperto da un numero finito di aperti affini [tex]\{U_i\}_{i = 1}^n[/tex] tali che ogni [tex]U_i \cap U_j[/tex] sia quasi compatto, allora [tex]\Gamma(X_f, \mathscr O_{X_f}) \simeq A[f^{-1}][/tex];

Quello che bisogna dimostrare è che [tex](\mathcal{O}_X(X))_f \cong \mathcal{O}_{X}(X_f)[/tex]. Consideriamo l'omomorfismo di restrizione [tex]\mathcal{O}_X(X) \to \mathcal{O}_{X}(X_f)[/tex]. Incollando gli inversi locali di [tex]f[/tex] in [tex]X_f[/tex] otteniamo che [tex]f[/tex] è invertibile in [tex]\mathcal{O}_{X}(X_f)[/tex], quindi dalla proprietà universale della localizzazione otteniamo un morfismo canonico [tex](\mathcal{O}_X(X))_f \to \mathcal{O}_{X}(X_f)[/tex]. Vogliamo mostrare che è un isomorfismo.

Cominciamo col mostrare che è iniettivo. Osserviamo che [tex]X_f[/tex] è ricoperto dagli [tex]U_i \cap X_f = V_i[/tex], e siccome ogni [tex]U_i[/tex] è affine si ha il fatto intuitivo che [tex]\mathcal{O}_{X}(V_i) = \mathcal{O}_X(U_i)_f[/tex]. Dal fatto che [tex]\mathcal{O}_X[/tex] è un fascio e dal fatto che la localizzazione è esatta otteniamo un diagramma commutativo con le righe esatte

[tex]\xymatrix{0 \ar[r] & \mathcal{O}_X(X)_f \ar[d] \ar[r] & \prod_i \mathcal{O}_X(U_i)_f \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_X(X_f) \ar[r] & \prod_i \mathcal{O}_X(V_i)}[/tex]

Al che mi viene un dubbio: se questi [tex]U_i[/tex] fossero infiniti cosa cambierebbe esattamente? La riga sopra non sarebbe più esatta? Forse la localizzazione commuta solo coi prodotti diretti finiti?

In ogni caso, siccome la freccia verticale destra è un isomorfismo (per quanto detto sopra), quella a sinistra è iniettiva.

Completiamo ora il diagramma per esaurire le proprietà di fascio (in altre parole, ci ricordiamo della proprietà di incollamento):

[tex]\xymatrix{0 \ar[r] & \mathcal{O}_X(X)_f \ar[d] \ar[r] & \prod_i \mathcal{O}_X(U_i)_f \ar[r] \ar[d] & \prod_{i,j} \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)_f \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_X(X_f) \ar[r] & \prod_i \mathcal{O}_X(V_i) \ar[r] & \prod_{i,j} \mathcal{O}_X(V_i \cap V_j)}[/tex]

Siccome per ipotesi ogni [tex]U_i \cap U_j[/tex] è ricoperto da un numero finito di aperti affini, lo stesso identico argomento usato sopra per [tex]X[/tex] dimostra che la freccia verticale destra di questo diagramma è iniettiva. Quindi: le due frecce verticali esterne sono iniettive, quella centrale è un isomorfismo, e le righe sono esatte. Quindi per caccia al diagramma quella a sinistra è anche suriettiva, cioè è un isomorfismo.

Mi sono divertito

[maurer]

"Martino":Sia [tex]x \in X_f[/tex]. Poiché [tex]\mathcal{O}_{X,x} = \lim_{X \supset U \ni x} \mathcal{O}_X(U)[/tex], esistono [tex]U[/tex] aperto di [tex]X[/tex] e [tex]g \in \mathcal{O}_X(U)[/tex] tali che [tex]g \cdot f|_U = 1[/tex], per cui [tex]U \subseteq X_f[/tex].

Ok.

"Martino":Incollando gli inversi locali di [tex]f[/tex] in [tex]X_f[/tex] otteniamo che [tex]f[/tex] è invertibile in [tex]\mathcal{O}_{X_f}[/tex], quindi dalla proprietà universale della localizzazione otteniamo un morfismo canonico [tex](\mathcal{O}_X(X))_f \to \mathcal{O}_{X}(X_f)[/tex].

Bene.

"Martino":
Al che mi viene un dubbio: se questi [tex]U_i[/tex] fossero infiniti cosa cambierebbe esattamente? La riga sopra non sarebbe più esatta? Forse la localizzazione commuta solo coi prodotti diretti finiti?

Ragionando a livello di moduli, la localizzazione è definita come il prodotto tensoriale per [tex]A[f^{-1}][/tex]. Ora, il funtore [tex]- \otimes_A A[f^{-1}][/tex] è aggiunto sinistro, quindi commuta con tutti i colimiti (in particolare con le somme dirette infinite), ma non con tutti i prodotti (quelli finiti sì, perché sono biprodotti). Quindi vediamo che già ci sono problemi con i prodotti diretti infiniti di moduli.

"Martino":
Quindi per caccia al diagramma quella a sinistra è anche suriettiva, cioè è un isomorfismo.

Perfetto.

"Martino":
Mi sono divertito

Tra l'altro è un esercizio guidato dell'Hartshorne, io mi sono lasciato guidare e la mia dimostrazione è molto più contosa. Questa è bellissima!

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

commuta con tutti i colimiti (in particolare con le somme dirette infinite), ma non con tutti i prodotti (quelli finiti sì, perché sono biprodotti).

Ecco, bene grazie

Continuo un po' a pezzi, restando nella filosofia di cui sopra (spulcio nella teoria).

"maurer":Esercizio 2. Dimostrate che se [tex]B[/tex] è finitamente presentato, allora per ogni mappa suriettiva [tex]\alpha \colon A^k \to B[/tex], [tex]\ker \alpha[/tex] è finitamente generato.

Dato che ogni [tex]A[/tex]-modulo libero è proiettivo, si tratta di una facile applicazione del seguente risultato.

Lemma di Schanuel. Siano

[tex]\xymatrix{0 \ar[r] & K \ar[r] & P \ar[r]^q & M \ar[r] & 0}[/tex]
[tex]\xymatrix{0 \ar[r] & K^{\prime} \ar[r] & P^{\prime} \ar[r]^{q^{\prime}} & M \ar[r] & 0}[/tex]

due sequenze esatte di [tex]A[/tex]-moduli con [tex]P,P'[/tex] proiettivi. Allora [tex]P' \oplus K \cong P \oplus K'[/tex].

Dimostrazione. Sia [tex]Q := \{(p,p') \in P \oplus P'\ |\ q(p) = q'(p')\} \leq_A P \oplus P'[/tex]. Sia [tex]\pi_1:Q \to P[/tex] il morfismo canonico. Siccome [tex]q'[/tex] è suriettivo, [tex]\pi_1[/tex] è suriettivo. Siccome [tex]P[/tex] è proiettivo esiste una sezione [tex]P \to Q[/tex], per cui la composizione [tex]P \to Q \to P[/tex] è l'identità [tex]P \to P[/tex], in altre parole [tex]Q \cong P \oplus \ker(\pi_1)[/tex]. Ma [tex]\ker(\pi_1) \cong \ker(q') \cong K'[/tex], quindi [tex]Q \cong P \oplus K'[/tex]. Usando [tex]\pi_2:Q \to P'[/tex] lo stesso argomento mostra che [tex]Q \cong P' \oplus K[/tex] e quindi il risultato segue. []

Infatti se nelle ipotesi del lemma [tex]K,P,P'[/tex] sono finitamente generati allora anche [tex]K'[/tex] lo è, essendo un quoziente di [tex]K \oplus P'[/tex].

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"maurer":Proposizione. Un morfismo di schemi [tex]f \colon X \to Y[/tex] è affine se e solo se per ogni aperto affine [tex]U = \text{Spec}(A) \subset Y[/tex], [tex]f^{-1}(U)[/tex] è un aperto affine di [tex]X[/tex].

Chiaramente l'implicazione difficile è [tex](\Rightarrow)[/tex]. Osservo per cominciare che un morfismo tra schemi affini è affine (uno va a vedere cosa succede agli aperti di base [tex]D(f)[/tex], è un esercizio standard). Quindi ogni [tex]f^{-1}(U_i) \to U_i[/tex] è affine, in particolare le anti-immagini degli aperti di base di [tex]U[/tex] contenuti in [tex]U_i[/tex] sono affini e quindi a meno di restringerci a considerare [tex]f^{-1}(U) \to U[/tex] possiamo supporre che [tex]Y=U[/tex] sia affine e che gli [tex]U_i[/tex] siano proprio gli aperti di base, [tex]D(g_i)[/tex].

Siccome [tex]Y=\text{Spec}(A)[/tex] è quasi-compatto esistono [tex]g_1,\ldots,g_n \in A[/tex] tali che [tex]Y=D(g_1) \cup ... \cup D(g_n)[/tex] e anzi [tex]a_1g_1 + ... +a_ng_n = 1 \in A[/tex] per opportuni [tex]a_1, ... , a_n \in A[/tex]. Detto [tex]B := \mathcal{O}_X(X)[/tex], il funtore "sezioni globali" [tex]\mathcal{O}_X(-)[/tex] dà un omomorfismo di anelli [tex]\varphi:A \to B[/tex]. Chiaramente [tex]f^{-1}(D(g_i)) = X_{\varphi(g_i)}[/tex], e costui è affine per ipotesi. Per concludere usando il criterio di affinità resta da mostrare che [tex](\varphi(g_1),...,\varphi(g_n)) = B[/tex], ma questo è ovvio, dato che [tex]B \ni 1_B = \varphi(1_A) = \varphi(a_1g_1 + ... + a_ng_n) = \varphi(a_1) \varphi(g_1) + ... + \varphi(a_n) \varphi(g_n)[/tex].

Proposizione. Un morfismo di schemi [tex]f \colon X \to Y[/tex] è di presentazione finita se e solo se per ogni aperto affine [tex]U = \text{Spec}(A) \subset Y[/tex], [tex]f^{-1}(U)[/tex] è affine, [tex]f^{-1}(U) = \text{Spec}(B)[/tex], con [tex]B[/tex] di presentazione finita come [tex]A[/tex]-modulo.

Il fatto che gli [tex]f^{-1}(U)[/tex] sono affini segue dalla proposizione qui sopra. Ora uno usando gli stessi argomenti sopra (considerando cioè gli aperti di base) si mette nella situazione di dover mostrare che se [tex]A \to B[/tex] è un omomorfismo di anelli, [tex]f_1,...,f_n \in A[/tex] generano [tex]A[/tex] come ideale e ogni [tex]A_{f_i} \to B_{\varphi(f_i)}[/tex] è di presentazione finita allora anche [tex]A \to B[/tex] è di presentazione finita. Ci sto ancora pensando, la stanchezza sta prendendo il sopravvento.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"maurer":

Criterio di affinità. Mostrare che [tex]X[/tex] è affine se e solo se esistono [tex]f_1,\ldots, f_n \in A[/tex] tali che ogni [tex]X_{f_i}[/tex] sia affine ed inoltre [tex](f_1,\ldots,f_n) = (1)[/tex] (come ideali in [tex]A[/tex]).

Mi sento moralmente tenuto a dire quanto segue.

Consideriamo un morfismo di fasci [tex]f: \mathcal{F} \to \mathcal{G}[/tex] su [tex]X[/tex]. Il nucleo di [tex]f[/tex], [tex]\ker(f)[/tex], è il fascificato del prefascio [tex]X \supseteq U \mapsto \text{ker}(f_U)[/tex], l'immagine di [tex]f[/tex], [tex]\text{Im}(f)[/tex] è il fascificato del prefascio [tex]X \supseteq U \mapsto \text{Im}(f_U)[/tex]. [tex]f[/tex] si dice iniettivo se [tex]\text{ker}(f)=0[/tex], si dice suriettivo se [tex]\text{Im}(f) = \mathcal{G}[/tex]. Verificare che [tex]f[/tex] è suriettivo se e solo se il morfismo di anelli [tex]f_x:\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x[/tex] è suriettivo per ogni [tex]x \in X[/tex].

Un morfismo di schemi [tex]f:X \to Y[/tex] è detto "immersione chiusa" se:
(a) [tex]f[/tex] induce un omeomorfismo di [tex]X[/tex] con un chiuso di [tex]Y[/tex],
(b) Il morfismo strutturale [tex]f^{\sharp}:\mathcal{O}_Y \to f^{\ast}\mathcal{O}_X[/tex] è suriettivo.

Per esempio se [tex]A \to A/I[/tex] è una proiezione canonica allora il morfismo associato [tex]\text{Spec}(A/I) \to \text{Spec}(A)[/tex] è un'immersione chiusa.

Un sottoschema chiuso di uno schema [tex]Y[/tex] è uno schema [tex]X[/tex] dotato di un'immersione chiusa [tex]j:X \to Y[/tex].

Proposizione. Sia [tex]X=\text{Spec}(A)[/tex] uno schema affine e sia [tex]Z \to X[/tex] un sottoschema chiuso di [tex]X[/tex]. Mostrare che [tex]Z[/tex] è affine ed esiste [tex]I[/tex] ideale di [tex]A[/tex] tale che [tex]Z[/tex] è il sottoschema chiuso [tex]\text{Spec}(A/I)[/tex].

Dopo aver dimostrato che [tex]Z[/tex] è affine con l'aiuto del criterio di affinità, [tex]Z=\text{Spec}(B)[/tex], uno ottiene [tex]\varphi:A \to B[/tex], definisce [tex]I := \ker(\varphi)[/tex] e prova a dimostrare che [tex]\text{Spec}(B) \to \text{Spec}(A/I)[/tex] è un isomorfismo. Per fare questo uno osserva che [tex]A/I \to B[/tex] è iniettivo e applica (dopo averlo dimostrato) il seguente fatto:

Lemma. Sia [tex]\psi:C \to D[/tex] un omomorfismo di anelli. Se [tex]\psi[/tex] è iniettivo allora [tex]\text{Spec}(D) \to \text{Spec}(C)[/tex] ha immagine densa. Inoltre il viceversa vale se [tex]C[/tex] non ha nilpotenti non nulli.

[maurer]

Molto bene! Non conoscevo il lemma di Schanuel, la mia dimostrazione era una semplice applicazione dello Snake Lemma. Comunque benissimo, mi piacciono molto di più le dimostrazioni "potenti"!

"Martino":
Consideriamo un morfismo di fasci [tex]f: \mathcal{F} \to \mathcal{G}[/tex] su [tex]X[/tex]. Il nucleo di [tex]f[/tex], [tex]\ker(f)[/tex], è il fascificato del prefascio [tex]X \supseteq U \mapsto \text{ker}(f_U)[/tex], l'immagine di [tex]f[/tex], [tex]\text{Im}(f)[/tex] è il fascificato del prefascio [tex]X \supseteq U \mapsto \text{Im}(f_U)[/tex].

Per il nucleo, non serve prendere il fascificato: infatti, ogni limite di fasci (calcolato nella categoria dei prefasci) è già un fascio (sostanzialmente perché i limiti commutano con i limiti, direi).

"Martino":[tex]f[/tex] si dice iniettivo se [tex]\text{ker}(f)=0[/tex], si dice suriettivo se [tex]\text{Im}(f) = \mathcal{G}[/tex]. Verificare che [tex]f[/tex] è suriettivo se e solo se il morfismo di anelli [tex]f_x:\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x[/tex] è suriettivo per ogni [tex]x \in X[/tex].

Dunque, l'inclusione [tex]\mathbf{Sh}(X) \subset \mathbf{PSh}(X)[/tex] determina una sottocategoria riflessiva con riflettore dato dalla fascificazione. Questo ci basta a concludere che una freccia [tex]f \colon \mathcal F \to \mathcal G[/tex] è mono in [tex]\mathbf{Sh}(X)[/tex] sse è mono in [tex]\mathbf{PSh}(X)[/tex], sse [tex]\ker \varphi_U = 0[/tex] per ogni aperto [tex]U \subset X[/tex]. Più delicata è la suriettività; siccome stiamo parlando della fascificazione del prefascio immagine, la seguente proprietà è un'ovvia riformulazione del concetto di suriettività come definito da Martino:

Per ogni [tex]U \subset X[/tex] e ogni [tex]s \in \mathcal G(U)[/tex] esistono aperti [tex]\{U_i\}_{i \in I}[/tex] che ricoprono [tex]U[/tex] ed esistono elementi [tex]t_i \in \mathcal F(U_i)[/tex] tali che [tex]f_{U_i}(t_i) = s |_{U_i}[/tex].
[/list:u:2eu85u4y]
A questo punto è facile: supponiamo che [tex]f_x[/tex] sia suriettivo per ogni [tex]x \in X[/tex]. Allora, fissato [tex]s \in \mathcal G(U)[/tex], la condizione precedente è banalmente soddisfatta, sicché vediamo che [tex]f[/tex] è suriettivo.
Viceversa, supponiamo che [tex]f[/tex] sia suriettivo. Allora la definizione stessa di [tex]f_x[/tex] (tramite la proprietà universale della spiga) combinata con la condizione precedente mostra che [tex]f_x[/tex] è suriettivo.

Qualche aggiunta: [tex]f \colon \mathcal F \to \mathcal G[/tex] è suriettivo se e solo se è epi in [tex]\mathbf{Sh}(X)[/tex]. Infatti, supponiamo che [tex]g,h \colon \mathcal G \to \mathcal H[/tex] siano tali che [tex]gf = hf[/tex], con [tex]f[/tex] suriettivo. Si fissi un aperto [tex]U \subset X[/tex] e si scelga [tex]s \in \mathcal G(U)[/tex]. Si scelgano un ricoprimento [tex]\{U_i\}_{i \in I}[/tex] di [tex]U[/tex] ed elementi [tex]t_i \in \mathcal F(U_i)[/tex] tali che [tex]f_{U_i}(t_i) = s|_{U_i}[/tex]. Allora avremo che [tex]g_U(s)[/tex] è l'incollamento di [tex]g_{U_i}(s|_{U_i}) = g_{U_i}(f_{U_i}(t_i)) = h_{U_i}(s|_{U_i})[/tex], esattamente come [tex]h_U(s)[/tex], sicché [tex]g_U(s) = h_U(s)[/tex] e quindi i due morfismi sono uguali, i.e. [tex]f[/tex] è epi in [tex]\mathbf{Sh}(X)[/tex].
Viceversa, supponiamo che [tex]f[/tex] sia epi. Fissiamo [tex]x \in X[/tex] e consideriamo [tex]f_x \colon \mathcal F_x \to \mathcal G_x[/tex]; allora siccome passare allo stalk è un'operazione funtoriale che ha un simpatico aggiunto destro, lo skyscraper (ossia, formalmente, [tex]\text{Stalk}_x \dashv \text{Sky}_x[/tex]), segue che [tex]\text{Stalk}_x[/tex] preserva tutti i colimiti; in particolare preserva i pushout e, di conseguenza, conserva gli epi. Pertanto [tex]f_x[/tex] è epi in [tex]\mathbf{Ab}[/tex], ossia è suriettivo.

Per chi ha voglia di dimostrarlo, riporto il seguente

Fatto. [tex]\mathbf{Sh}(X)[/tex] è una categoria bilanciata, ossia un morfismo che sia contemporaneamente mono ed epi è un isomorfismo (sintomo dell'abelianità di [tex]\mathbf{Sh}(X)[/tex]).

Adesso penso al resto!