Identità curiosa con somma e prodotto
Siano [tex]a_0,a_1,a_2, \ldots[/tex] numeri complessi a due a due distinti.
Mostrare che per ogni intero [tex]m \geq 1[/tex] si ha [tex]\sum_{n=0}^m \prod_{n \neq k=0}^m \frac{a_{m+1}-a_k}{a_n-a_k} = 1[/tex].
E' un caso tipico di "risoluzione per ammirazione"
Mostrare che per ogni intero [tex]m \geq 1[/tex] si ha [tex]\sum_{n=0}^m \prod_{n \neq k=0}^m \frac{a_{m+1}-a_k}{a_n-a_k} = 1[/tex].
E' un caso tipico di "risoluzione per ammirazione"
Risposte
O viceversa Ho postato il problema in entrambi i forum: "Tino" sono io.
Ho postato il problema in entrambi i forum: "Tino" sono io.
Io ammiro, ammiro, ma nada... comunque mi ricorda una base polinomiale, se non erro quella di Lagrange.
"ZetaFunction":Diciamo che
Io ammiro, ammiro, ma nada... comunque mi ricorda una base polinomiale, se non erro quella di Lagrange.
Bellino!
Allora consideriamo quell'espressione come un polinomio a coefficienti complessi in $a_{m+1}$ e chiamiamolo $P(a_{m+1})$. Allora valgono i seguenti fatti:
1) $deg P <=m-1$ ;
2) $P(a_i)=1$ per ogni $i=1,m$
Come noto un polinomio di k-esimo grado è completamente identificato da $k+1$ valori e questo basta per concludere che il polinomio è identicamente uguale ad uno, senza fare conti....
Allora consideriamo quell'espressione come un polinomio a coefficienti complessi in $a_{m+1}$ e chiamiamolo $P(a_{m+1})$. Allora valgono i seguenti fatti:
1) $deg P <=m-1$ ;
2) $P(a_i)=1$ per ogni $i=1,m$
Come noto un polinomio di k-esimo grado è completamente identificato da $k+1$ valori e questo basta per concludere che il polinomio è identicamente uguale ad uno, senza fare conti....
Ah sì.
sì.
peraltro il polinomio $P(z)$, come definito sopra e come sottolineato da ZetaFunction, è proprio il polinomio di Lagrange che assume valore $1$ nei primi $m$ punti.
Per chi vuole ripassare o imparare...
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial
Questa interprezione offre sviluppo ad identità diverse da questa ma basate sugli stessi principio: polinomio di Lagrange + principio di identità dei polinomi... se qualcuno si vuole divertire può provare a vedere che esce fuori.
Per chi vuole ripassare o imparare...
http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_polynomial
Questa interprezione offre sviluppo ad identità diverse da questa ma basate sugli stessi principio: polinomio di Lagrange + principio di identità dei polinomi... se qualcuno si vuole divertire può provare a vedere che esce fuori.
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