I monomi con potenze prime sono densi in \( C([a,b]) \)

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Problema. Sia \( M = \{ x^p \, : \, p \text{ numero primo} \} \). Mostrare che \[ \overline{\text{span } M} = C([a,b];\mathbb{C}), \quad a>0 \]ove la chiusura è da intendersi nella sup-norma.

Non ho idea di come si faccia "a mano", ma con il [strike]cannone[/strike] teorema giusto è un problema banale, per quanto curioso.

[Bremen000]

Mi sembra un problema molto difficile!

La mia idea inizialmente era di dimostrare che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) esiste una successione \( \{x_k\}_{k \in \mathbb{N}} \subset M \) tale che \( x_k \to x^n \) nella sup-norma di \( [a,b] \) e poi usare Stone-Weierstrass

C'ho pensato un po' su e non mi è venuto in mente niente. Ho cercato la cosa sul web e ho scoperto che questo teorema ha un nome! Quell'affare (cioè il nostro cannone) unito alla divergenza della serie dei reciproci dei primi dovrebbe portare alla conclusione desiderata.

Tu speravi davvero in una dimostrazione "a mano"? Quella del teorema si può trovare per esempio qua, in fondo a pagina 5.

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

@Bremen000: è quello che avevo in mente. E' un risultato molto bello (la cui dimostrazione sta anche nel libro di Peter Lax).