I conigli di messer Fibonacci e... le serie di potenze

[Paolo902]

Problema. Sia $(a_n)_{n \in \NN}$ la ben nota successione di Fibonacci, cioè la successione definita ricorsivamente da $a_0=0$, $a_1=1$, $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ per $n>=2$.

Si chiede di determinare il raggio di convergenza della serie di potenze (in campo complesso)
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n
\]

Bonus. Naturalmente, i più volenterosi possono anche pensare a una generalizzazione del problema (bisogna saper smanettare un minimo con le equazioni alle differenze).

[j18eos]

Dato che i matematici sono dei maliziosi masochisti; la successione generalizzata di Fibonacci è così definita: \[a_0=0;\,a_1=1;\,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\mid n\in\mathbb{Z};\] perché non calcolare l'insieme di convergenza della serie doppia di potenze: \[\sum_{n\in\mathbb{Z}}a_nz^n\]

[cyber1]

A proposito di Fibonacci....conoscete questa?

[Raptorista1]

Provo a rispondere al quesito di Paolo90, in spoiler

La successione di Fibonacci è associata all'equazione alle differenze
\[
a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0
\]
La cui equazione caratteristica è
\[
\lambda^2 - \lambda - 1 = 0
\]
con soluzioni
\[
\lambda_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \qquad \lambda_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}
\]
da cui
\[
a_n = c_1 \lambda_1^n + c_2 \lambda_2^n \qquad c_1, c_2 \in \mathbb{R}
\]
Imponendo le condizioni iniziali si trova
\[
c_1 = - \frac{1}{\sqrt{5}} \qquad c_2 = \frac {1} {\sqrt{5}}
\]
La serie di partenza diventa quindi
\[
\sum_{n = 0}^\infty \left[ - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n + \frac {1} {\sqrt{5}} \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] z^n
\]
Ovvero
\[
\frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n = 0}^\infty \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] z^n
\]
Ora inizio a brancolare nel buio, quindi le cavolate arriveranno a valanga!
Spezzo in due:
\[
\frac{1}{\sqrt{5}} \sum_{n = 0}^\infty \left[ \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \right] z^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \sum_{n = 0}^\infty \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n z^n - \sum_{n = 0}^\infty \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n z^n \right]
\]
Ed uso la formula della radice per il raggio di convergenza delle singole serie, ottenendo
\[
\lim_{n} \sqrt[n]{\left| \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right|^n} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1}{\rho_1}
\]
\[
\lim_{n} \sqrt[n]{\left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right|^n} = \left| \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right| = \frac{1}{\rho_2}
\]
Da cui
\[
\rho = \min(\rho_1, \rho_2) = \frac{2}{1 + \sqrt{5}}
\]
Siate buoni, non ho mai fatto le serie in campo complesso

[dissonance]

[xdom="dissonance"]Cerchiamo di non divagare. Prima si risolve l'esercizio proposto da Paolo e poi, se ne abbiamo voglia, proponiamo rilanci o addirittura OT. Altrimenti si rischia di affogare l'esercizio sul nascere. Grazie, ragazzi.[/xdom]

[Paolo902]

@Raptorista:

Ok, Massi!

Più in generale, prendi due numeri complessi $u_1$, $u_2$ tali che il polinomio $P(T):= T^2 -u_1T-u_2 = (T-alpha_1)(T-alpha_2)$ abbia due radici distinte, con $|alpha_1|<|alpha_2|$. Dati $a_0$, $a_1$, definiamo $a_n=u_1a_{n-1}+u_2a_{n-2}$, per $n >= 2$.

Ripercorrendo esattamente il tuo ragionamento si trova che il raggio di $sum_{n} a_n z^n$ è $\rho=1/|alpha_2|$.